Công cụ này làm gì
Công cụ tính các hàm Bessel cầu biến đổi loại một \(i_v(x)\) và loại hai \(k_v(x)\), cùng các đạo hàm cấp một \(i'_v(x)\) và \(k'_v(x)\), với bậc \(v\) là số nguyên không âm và đối số \(x\) là số thực dương. Đây là những hàm đặc biệt thuần túy trong toán học — chúng cho kết quả như nhau ở mọi nơi, không phụ thuộc vào quốc gia hay đơn vị đo nào.
Cơ sở lý thuyết và công thức
Các hàm này là nghiệm của phương trình Bessel cầu biến đổi $$x^2 w'' + 2x w' - (x^2 + v(v+1))w = 0.$$ Chúng liên hệ với các hàm Bessel biến đổi dạng trụ thông qua phép dịch bậc nửa nguyên: $$i_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\cdot I_{v+1/2}(x) \quad \text{và} \quad k_v(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cdot K_{v+1/2}(x).$$ Vì phép cộng \(+1/2\) biến bậc thành nửa nguyên khi \(v\) là số nguyên, nên các hàm rút gọn về những biểu thức sơ cấp theo sinh, cosh và exp. Ta khởi tạo với $$i_0 = \frac{\sinh x}{x}, \quad i_1 = \frac{\cosh x}{x} - \frac{\sinh x}{x^2}, \quad k_0 = \frac{\pi}{2x}e^{-x}, \quad k_1 = \frac{\pi}{2x}e^{-x}\left(1 + \frac{1}{x}\right),$$ rồi truy hồi tăng dần lên đến bậc cần tính. Đạo hàm dùng công thức $$f'_v = -f_{v+1} + \frac{v}{x}f_v.$$
Cách sử dụng
Nhập bậc nguyên \(v\) (0, 1, 2, …) và đối số \(x\) với \(x > 0\), rồi đọc bốn kết quả. Lưu ý quy ước ở đây dùng \(k_v(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,K_{v+1/2}(x)\), tức là có thêm thừa số \(\pi/2\) xuất hiện trong \(k_0\); một số tài liệu khác bỏ qua thừa số này.
Ví dụ minh họa (v = 0, x = 2)
\(i_0(2) = \frac{\sinh 2}{2} = \frac{3.6268604}{2} = 1.8134302\). \(i_1(2) = \frac{\cosh 2}{2} - \frac{\sinh 2}{4} = 1.8810978 - 0.9067151 = 0.9743827\), do đó \(i'_0(2) = -i_1(2) = -0.9743827\). \(k_0(2) = \frac{\pi}{4}e^{-2} = 0.1062930\), \(k_1(2) = k_0 \cdot 1.5 = 0.1594394\), vậy \(k'_0(2) = -k_1(2) = -0.1594394\).
Câu hỏi thường gặp
Có thể dùng bậc v không nguyên không? Phiên bản giá trị thực này chỉ hỗ trợ các bậc nguyên không âm, là trường hợp các hàm có dạng sơ cấp. Bậc không nguyên cần tính đầy đủ các hàm Bessel I/K.
Vì sao x phải dương? \(k_v(x)\) phân kỳ khi \(x \to 0\) và kết quả trở thành số phức khi \(x < 0\), nên phiên bản số thực yêu cầu \(x > 0\).
iv và kv khác nhau thế nào? \(i_v\) tăng theo hàm mũ và chính quy tại gốc tọa độ; còn \(k_v\) giảm theo hàm mũ và kỳ dị tại gốc tọa độ.
