실수 지수 피보나치 함수 계산기

계산 입력

지수 v의 초기값

증가량

반복 횟수

결과

Fibonacci function at first index v = -10

-55

F(v) = (phi^v − (1/phi)^v cos(v π)) / √5

행 수	101
F at last index v = 10	55

지수 v	피보나치 함수 F(v)
-10	-55
-9.8	-40.411828
-9.6	-14.016583
-9.4	12.739332
-9.2	30.285557
-9	34
-8.8	24.984835
-8.6	8.672581
-8.4	-7.862488
-8.2	-18.705555
-8	-21
-7.8	-15.426993
-7.6	-5.344002
-7.4	4.876844
-7.2	11.580002
-7	13
-6.8	9.557843
-6.6	3.328579
-6.4	-2.985644
-6.2	-7.125553
-6	-8
-5.8	-5.86915
-5.6	-2.015423
-5.4	1.8912
-5.2	4.454449
-5	5
-4.8	3.688692
-4.6	1.313157
-4.4	-1.094444
-4.2	-2.671104
-4	-3
-3.8	-2.180458
-3.6	-0.702266
-3.4	0.796756
-3.2	1.783344
-3	2
-2.8	1.508235
-2.6	0.61089
-2.4	-0.297688
-2.2	-0.88776
-2	-1
-1.8	-0.672223
-1.6	-0.091376
-1.4	0.499068
-1.2	0.895584
-1	1
-0.8	0.836011
-0.6	0.519515
-0.4	0.20138
-0.2	0.007824
0	0
0.2	0.163788
0.4	0.428139
0.6	0.700447
0.8	0.903408
1	1
1.2	0.999799
1.4	0.947654
1.6	0.901827
1.8	0.911232
2	1
2.2	1.163587
2.4	1.375793
2.6	1.602275
2.8	1.814641
3	2
3.2	2.163387
3.4	2.323446
3.6	2.504102
3.8	2.725873
4	3
4.2	3.326974
4.4	3.699239
4.6	4.106376
4.8	4.540514
5	5
5.2	5.490361
5.4	6.022685
5.6	6.610478
5.8	7.266387
6	8
6.2	8.817335
6.4	9.721923
6.6	10.716854
6.8	11.806901
7	13
7.2	14.307695
7.4	15.744608
7.6	17.327332
7.8	19.073288
8	21
8.2	23.12503
8.4	25.466531
8.6	28.044186
8.8	30.880188
9	34
9.2	37.432725
9.4	41.211139
9.6	45.371518
9.8	49.953476
10	55

이 계산기의 기능

이 도구는 피보나치 함수 \(F(\nu)\)를 계산합니다. 익숙한 피보나치 수를 정수 지수에서 임의의 실수 \(\nu\)로 확장한 것이죠. 비네(Binet) 공식을 닮은 닫힌 형태의 실수 확장식을 사용하며, 사용자가 지정한 범위에 걸쳐 (지수 \(\nu\), 값 \(F(\nu)\)) 쌍을 표로 만들어 줍니다. 순수 수학이므로 어느 나라에서든 동일하게 적용됩니다.

공식

황금비 \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (약 1.6180339887)라 하고, \(\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\) 임을 기억하세요. 실수 피보나치 함수는 다음과 같습니다.

$$F(\nu) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{\nu} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\right]$$

이산 비네 공식 \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\) (단, \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi}\))에서 \(\psi^{\nu}\) 항은 실수 \(\nu\)에 대해 다값(multi-valued)이 됩니다. 실수 분지(branch)를 취하면 \(\psi^{\nu} = \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\) 가 되며, \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\) 이므로 정수 지수에서는 비네 공식을 정확히 재현합니다.

\(F(\nu)\)는 증가하는 \(\varphi^{\nu}\) 항과 코사인으로 변조된 감쇠 항을 결합한 뒤 루트 5로 나눈 것입니다.

실수값 피보나치 함수 \(F(\nu)\)는 고전적인 정수 피보나치 값을 지나는 매끄러운 곡선을 이룹니다.

사용 방법

지수 \(\nu\)의 초기값(첫 행의 \(\nu\)), 증가량(행마다 \(\nu\)가 변하는 값, 음수도 가능), 반복 횟수(행의 개수)를 입력하세요. 계산기는 각 \(\nu_k = \text{초기값} + k\cdot\text{증가량}\) 에 대해 \(F(\nu)\)를 나열하고, 첫 값과 마지막 값을 강조해 보여줍니다.

계산 예시

\(\nu = 10\) 일 때: \(\varphi^{10} \approx 122.9919\), \(\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0.00813\), \(\cos(10\pi) = 1\) 입니다. 따라서 $$F(10) = \frac{122.9919 - 0.00813}{\sqrt{5}} = 55$$ 이며, 이는 열 번째 피보나치 수와 일치합니다. \(\nu = 0.5\) 일 때는 \(\cos(0.5\pi) = 0\) 이므로 \(F(0.5) = \frac{\varphi^{0.5}}{\sqrt{5}} \approx 0.568864\) 가 됩니다.

자주 묻는 질문

일반적인 피보나치 수가 그대로 나오나요? 네. 모든 정수 지수에서 표준 비네 공식으로 환원되며, 음의 지수인 "네가피보나치(negafibonacci)" 값까지 포함합니다.

왜 \(\cos(\nu\pi)\)를 사용하나요? 이것이 \(\psi^{\nu}\)의 실수 분지이며, 정수 지수에서 정확한 값을 만들어 주는 교대 부호(+/−)를 제공하기 때문입니다.

다른 확장 방식도 있나요? 있습니다. 복소수 기반이나 사인(sine) 기반의 해석적 연속(analytic continuation)도 존재합니다. 이 계산기는 그중에서 실수 분지 확장식인 \(F(\nu) = \frac{\varphi^{\nu} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)}{\sqrt{5}}\) 를 사용합니다.