Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет функцию Фибоначчи \(F(\nu)\) — расширение привычных чисел Фибоначчи с целочисленных индексов на любое вещественное число \(\nu\). В основе лежит замкнутая формула (в стиле Бине) для вещественного расширения, а на выходе строится таблица пар «индекс \(\nu\) — значение \(F(\nu)\)» по выбранному вами диапазону. Это чистая математика, поэтому результат одинаков в любой стране и не зависит от каких-либо местных правил.
Формула
Пусть \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) — золотое сечение (примерно 1,6180339887), при этом \(\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). Вещественная функция Фибоначчи выглядит так:
$$F(\nu) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{\nu} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\right]$$
В дискретной формуле Бине \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\), где \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi}\), выражение \(\psi^{\nu}\) для вещественного \(\nu\) многозначно. Если взять вещественную ветвь, получаем \(\psi^{\nu} = \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\) — и это в точности воспроизводит классическую формулу Бине для целых индексов, поскольку \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\).
Как пользоваться
Укажите начальное значение индекса \(\nu\) (\(\nu\) в первой строке), шаг (на сколько меняется \(\nu\) от строки к строке — он может быть и отрицательным) и число строк (сколько всего значений вывести). Калькулятор рассчитает \(F(\nu)\) для каждого \(\nu_k = \text{начальный индекс} + k\cdot\text{шаг}\) и выделит первое и последнее значения.
Разобранный пример
При \(\nu = 10\): \(\varphi^{10} \approx 122{,}9919\), а \(\left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0{,}00813\), при этом \(\cos(10\pi) = 1\). Получаем $$F(10) = \frac{122{,}9919 - 0{,}00813}{\sqrt{5}} = 55$$ — это и есть десятое число Фибоначчи. При \(\nu = 0{,}5\) имеем \(\cos(0{,}5\pi) = 0\), поэтому \(F(0{,}5) = \frac{\varphi^{0{,}5}}{\sqrt{5}} \approx 0{,}568864\).
Частые вопросы
Возвращает ли калькулятор обычные числа Фибоначчи? Да — в каждом целочисленном индексе формула сводится к стандартной формуле Бине, включая значения с отрицательными индексами («негафибоначчи»).
Зачем нужен \(\cos(\nu\pi)\)? Это вещественная ветвь \(\psi^{\nu}\), которая задаёт чередование знаков и делает результат точным для целых индексов.
Возможны ли другие расширения? Да: существуют комплекснозначные и основанные на синусе аналитические продолжения. В этом калькуляторе используется конкретное расширение по вещественной ветви: \(F(\nu) = \frac{\varphi^{\nu} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)}{\sqrt{5}}\).
