¿Qué es la función error?
La función error, que se escribe \(\operatorname{erf}(x)\), es una función especial que aparece constantemente en probabilidad, estadística y en la teoría de la difusión y la conducción del calor. Se define como el doble de la integral de la gaussiana (la campana de Gauss) entre 0 y x, normalizada de modo que \(\operatorname{erf}(\infty) = 1\). Muy ligada a ella está la función error complementaria, \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\), que mide el área de la cola de la distribución.
Cómo usar esta calculadora
Introduce cualquier número real x y la calculadora te devuelve tanto \(\operatorname{erf}(x)\) como \(\operatorname{erfc}(x)\). Se admiten valores positivos y negativos, ya que erf es una función impar: \(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\). El resultado es adimensional y siempre está comprendido entre \(-1\) y \(1\).
La fórmula explicada
La función error no tiene una forma cerrada elemental, así que hay que evaluarla numéricamente. Esta herramienta emplea la clásica aproximación racional-polinómica 7.1.26 de Abramowitz y Stegun. Sustituye \(\tau = 1/(1 + px)\) con \(p = 0{,}3275911\) y los coeficientes \(a_1 = 0{,}254829592\), \(a_2 = -0{,}284496736\), \(a_3 = 1{,}421413741\), \(a_4 = -1{,}453152027\), \(a_5 = 1{,}061405429\). Entonces $$\operatorname{erf}(x) \approx 1 - \left(a_1\tau + a_2\tau^2 + a_3\tau^3 + a_4\tau^4 + a_5\tau^5\right)\cdot e^{-x^2}.$$ El error absoluto máximo de esta aproximación ronda \(1{,}5 \times 10^{-7}\), una precisión más que suficiente para casi cualquier aplicación de ingeniería.
Ejemplo resuelto
Para \(x = 1\): $$\tau = \frac{1}{1 + 0{,}3275911} \approx 0{,}753139.$$ Al evaluar el polinomio y multiplicarlo por \(e^{-1}\) obtenemos \(\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}842701\), que coincide con el valor real de \(0{,}8427008\). El valor complementario es \(\operatorname{erfc}(1) \approx 0{,}157299\).
Preguntas frecuentes
¿Qué rango de valores toma erf(x)? Va desde \(-1\) (cuando \(x \to -\infty\)) hasta \(+1\) (cuando \(x \to +\infty\)), pasando por 0 en \(x = 0\).
¿Cómo de precisa es el resultado? La aproximación tiene una precisión de unos 7 decimales (error < 1,5e-7).
¿Para qué se usa erfc? La función error complementaria es habitual en el cálculo de probabilidades de cola, en las tasas de error de bit en comunicaciones y en las soluciones de la ecuación de difusión.
