오차함수란?
오차함수는 erf(x)로 표기하는 특수함수로, 확률·통계는 물론 확산 현상이나 열전도 이론 전반에서 자주 등장합니다. 정의상 0부터 x까지 가우스 분포(종 모양 곡선)를 적분한 값의 2배를 erf(∞) = 1이 되도록 정규화한 것입니다. 이와 밀접하게 연관된 함수가 여오차함수(complementary error function) \(\operatorname{erf}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\)로, 분포의 꼬리 부분 넓이를 나타냅니다.
계산기 사용법
임의의 실수 \(x\)를 입력하면 \(\operatorname{erf}(x)\)와 \(\operatorname{erfc}(x)\)를 한 번에 계산해 줍니다. erf는 기함수(odd function)라서 \(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\)가 성립하므로 양수와 음수 모두 입력할 수 있습니다. 결과는 무차원 값이며 항상 −1과 1 사이에 놓입니다.
공식 풀이
오차함수는 초등함수로 된 닫힌 형태가 없어 수치적으로 계산해야 합니다. 이 계산기는 널리 알려진 아브라모비츠(Abramowitz) & 스테건(Stegun)의 유리·다항식 근사식 7.1.26을 사용합니다. 먼저 \(p = 0.3275911\)로 두고 \(\tau = 1/(1 + px)\)로 치환하며, 계수는 \(a_1 = 0.254829592\), \(a_2 = -0.284496736\), \(a_3 = 1.421413741\), \(a_4 = -1.453152027\), \(a_5 = 1.061405429\)입니다. 그러면 $$\operatorname{erf}(x) \approx 1 - (a_1\tau + a_2\tau^2 + a_3\tau^3 + a_4\tau^4 + a_5\tau^5)\cdot e^{-x^2}$$로 계산됩니다. 이 근사식의 최대 절대오차는 약 \(1.5 \times 10^{-7}\) 수준으로, 사실상 거의 모든 공학 계산에 충분한 정밀도입니다.
예제로 확인하기
\(x = 1\)인 경우: $$\tau = \frac{1}{1 + 0.3275911} \approx 0.753139$$입니다. 다항식을 계산한 뒤 \(e^{-1}\)을 곱하면 \(\operatorname{erf}(1) \approx 0.842701\)이 되어 실제 값 0.8427008과 잘 일치합니다. 여오차함수 값은 \(\operatorname{erfc}(1) \approx 0.157299\)입니다.
자주 묻는 질문
erf(x)의 값 범위는 어떻게 되나요? \(x \to -\infty\)일 때 −1, \(x \to +\infty\)일 때 +1까지의 범위를 가지며, \(x = 0\)에서 0을 지납니다.
결과는 얼마나 정확한가요? 이 근사식은 소수점 약 7자리까지 정확합니다(오차 < 1.5e-7).
erfc는 어디에 쓰이나요? 여오차함수는 꼬리 확률 계산, 통신에서의 비트 오류율(BER), 확산 방정식의 해 등에서 흔히 사용됩니다.
