परिणाम

डिस्क्रिमिनेंट (Δ = b² − 4ac)

Two distinct real roots

वास्तविक मूलों की संख्या	2

डिस्क्रिमिनेंट (विविक्तकर) क्या है?

डिस्क्रिमिनेंट द्विघात सूत्र (quadratic formula) में वर्गमूल के चिह्न के नीचे आने वाला भाग होता है। किसी भी द्विघात समीकरण को जब $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखा जाता है, तो उसका डिस्क्रिमिनेंट $\Delta = b^2 - 4ac$ के रूप में परिभाषित होता है। इसकी कीमत आपको समीकरण हल किए बिना ही बता देती है कि उस द्विघात समीकरण के कितने वास्तविक मूल (roots) हैं और वे वास्तविक हैं या सम्मिश्र (complex)।

निर्देशांक अक्ष पर तीन परवलय जो दो मूल, एक मूल और कोई वास्तविक मूल नहीं दर्शाते हैं — विविक्तकर का चिह्न तय करता है कि परवलय x-अक्ष को कितनी बार काटता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने द्विघात समीकरण के तीनों गुणांक (coefficients) भरें: a (x² का गुणांक), b (x का गुणांक) और c (अचर पद यानी constant term)। फिर "Calculate" पर क्लिक करें और यह टूल आपको $\Delta$ के साथ-साथ वास्तविक मूलों की संख्या भी बता देगा। ध्यान रखें कि a शून्य नहीं होना चाहिए — अन्यथा समीकरण द्विघात नहीं बल्कि रैखिक (linear) बन जाता है।

सूत्र की व्याख्या

$$\Delta = b^2 - 4ac$$ Δ का चिह्न मूलों के स्वरूप को इस तरह वर्गीकृत करता है:

$\Delta > 0$ — दो अलग-अलग वास्तविक मूल।
$\Delta = 0$ — ठीक एक ही दोहराया गया (repeated) वास्तविक मूल।
$\Delta < 0$ — कोई वास्तविक मूल नहीं; दोनों मूल सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugates) होते हैं।

द्विघात सूत्र जो वर्गमूल के नीचे विविक्तकर को उजागर करता है — विविक्तकर वह व्यंजक $b^2 - 4ac$ है जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के नीचे होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए समीकरण $x^2 - 3x + 2 = 0$ है, यानी $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$। तब $$\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$$ चूँकि $\Delta = 1 > 0$ है, इसलिए इस समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं (जो कि $x = 1$ और $x = 2$ निकलते हैं)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

अगर a = 0 हो तो क्या होगा? ऐसी स्थिति में समीकरण द्विघात न रहकर रैखिक (linear) बन जाता है, और डिस्क्रिमिनेंट की अवधारणा वहाँ लागू नहीं होती।

क्या डिस्क्रिमिनेंट ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक डिस्क्रिमिनेंट का अर्थ है कि कोई वास्तविक मूल नहीं है — हल सम्मिश्र संख्याएँ (complex numbers) होती हैं।

डिस्क्रिमिनेंट शून्य होने का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि परवलय (parabola) x-अक्ष को ठीक एक ही बिंदु पर स्पर्श करता है, जिससे एक ही दोहराया गया वास्तविक मूल मिलता है।

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