ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تبني هذه الأداة معادلة مستقيم عندما لا تعرف عنه سوى نقطتي تقاطعه مع المحورين: نقطة التقاطع مع المحور السيني a (حيث يقطع المستقيم المحور الأفقي عند النقطة (a، 0))، ونقطة التقاطع مع المحور الصادي b (حيث يقطع المحور الرأسي عند النقطة (0، b)). انطلاقًا من هذين الرقمين تستنتج الأداة معادلة الميل والتقاطع \(y = mx + b\) إضافة إلى زاوية ميل المستقيم. الأمر برمّته هندسة إحداثية بحتة، لذا فهي تعمل بالطريقة ذاتها في أي مكان.
طريقة الاستخدام
أدخل نقطة التقاطع مع المحور السيني a ونقطة التقاطع مع المحور الصادي b. ولا يجوز أن تكون أيٌّ من القيمتين صفرًا: فإذا كانت \(a = 0\) يصبح المستقيم رأسيًا ويكون الميل غير معرّف، وإذا كانت \(b = 0\) يمر المستقيم بنقطة الأصل فتفقد صيغة التقاطعات معناها. بعد ذلك اختر ما إذا كنت تريد الزاوية بالدرجات أو بالراديان، ثم اقرأ المعادلة والميل ونقطة التقاطع والزاوية مباشرةً.
شرح الصيغة الرياضية
صيغة التقاطعات للمستقيم هي $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$ وبضرب المعادلة كاملةً في \(b\) ثم عزل \(y\) نحصل على $$y = \left(-\frac{b}{a}\right)x + b$$ وبذلك يكون الميل \(m = -\frac{b}{a}\) والحدّ الثابت هو ببساطة \(b\). أمّا الزاوية (زاوية الميل) التي يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور السيني فهي ظل الزاوية العكسي للميل: $$\theta = \arctan\left(-\frac{b}{a}\right)$$ وبما أن الدالة \(\arctan\) تُرجع قيمة بين \(-90\) و\(+90\) درجة، فإن المستقيم ذا الميل السالب ينتج عنه زاوية سالبة.
مثال محلول
لنأخذ \(a = -4\) وb = 3. يكون الميل $$m = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{-4} = 0.75$$ وبالتالي تكون المعادلة $$y = 0.75x + 3$$ أمّا الزاوية فهي $$\theta = \arctan(0.75) = 0.643501 \text{ راديان}$$ أي \(0.643501 \times \frac{180}{\pi} = 36.8699\) درجة.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمكن أن تكون a أو b مساوية للصفر؟ إذا كانت \(a = 0\) يصبح المستقيم رأسيًا (\(x = \text{ثابت}\)) ولا يكون له ميل معرّف؛ وإذا كانت \(b = 0\) يمرّ المستقيم بنقطة الأصل فلا يمكن أن تتحقق صيغة التقاطعات المتماثلة \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
لماذا تظهر زاويتي سالبة؟ تساوي الزاوية \(\arctan(\text{الميل})\). فعندما يكون الميل سالبًا يهبط المستقيم من اليسار إلى اليمين، لذا تُعطى زاوية ميله كقيمة سالبة بين \(0\) و\(-90\) درجة، وهذا هو العُرف المتّبع.
هل يكون الميل دائمًا -b/a؟ نعم. فمع نقطتي التقاطع (a، 0) و(0، b)، يكون مقدار التغير الرأسي على التغير الأفقي بين النقطتين هو \(\frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}\).
