Qué hace esta calculadora
Esta herramienta construye la ecuación de una recta cuando solo conoces sus dos cortes con los ejes: la intersección con el eje X, a (el punto donde la recta cruza el eje horizontal, es decir (a, 0)), y la intersección con el eje Y, b (donde cruza el eje vertical, el punto (0, b)). A partir de esos dos valores obtiene la ecuación en forma punto-pendiente \(y = mx + b\) y el ángulo de inclinación de la recta. Es geometría analítica pura, así que funciona exactamente igual en cualquier lugar.
Cómo usarla
Introduce la intersección con el eje X, a, y la intersección con el eje Y, b. Ninguno de los dos valores puede ser cero: si \(a = 0\) la recta es vertical y su pendiente no está definida, y si \(b = 0\) la recta pasa por el origen, con lo que la forma simétrica de las intersecciones deja de tener sentido. Elige si quieres el ángulo en grados o en radianes y, a continuación, lee la ecuación, la pendiente, la ordenada en el origen y el ángulo.
La fórmula, paso a paso
La forma simétrica (o de intersecciones) de una recta es \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\). Si multiplicamos todo por \(b\) y despejamos \(y\), obtenemos \(y = \left(-\frac{b}{a}\right)x + b\). Por tanto, la pendiente es \(m = -\frac{b}{a}\) y el término independiente es simplemente \(b\). El ángulo de inclinación que forma la recta con el semieje positivo X es el arcotangente de la pendiente:
$$\theta = \arctan\!\left(-\frac{b}{a}\right)$$
Como la función arcotangente devuelve un valor entre -90 y +90 grados, una recta con pendiente negativa da lugar a un ángulo negativo.
Ejemplo resuelto
Supongamos \(a = -4\) y \(b = 3\). La pendiente es \(m = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{-4} = 0{,}75\). La ecuación queda, por tanto, como \(y = 0{,}75x + 3\). El ángulo es
$$\theta = \arctan(0{,}75) = 0{,}643501 \ \text{rad} = 0{,}643501 \times \frac{180}{\pi} = 36{,}8699 \ \text{grados}$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué a o b no pueden ser cero? Si \(a = 0\) la recta es vertical (\(x = \text{constante}\)) y carece de pendiente definida; si \(b = 0\) la recta pasa por el origen y la forma simétrica \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) no se puede cumplir.
¿Por qué mi ángulo sale negativo? El ángulo es igual a \(\arctan(\text{pendiente})\). Cuando la pendiente es negativa, la recta desciende de izquierda a derecha, por lo que su inclinación se expresa como un ángulo negativo entre 0 y -90 grados, que es el convenio habitual.
¿La pendiente siempre vale \(-\frac{b}{a}\)? Sí. Con las intersecciones (a, 0) y (0, b), el cociente entre el incremento vertical y el horizontal de esos dos puntos es \(\frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}\).
