ما الذي تقوم به هذه الأداة
تحسب هذه الأداة مساحة ومحيط أي مثلث عندما تعرف الإحداثيات الديكارتية لرؤوسه الثلاثة: أ(س1، ص1)، ب(س2، ص2)، جـ(س3، ص3). القيم المُدخلة هي أعداد حقيقية عادية على المستوى الإحداثي، لذا يمكن أن تكون سالبة أو صفرًا أو أعدادًا صحيحة أو عشرية. وتأتي النتائج بالوحدات نفسها التي استخدمتها في الإحداثيات: المساحة بالوحدات المربّعة، والمحيط بالوحدات الطولية. وإذا كانت إحداثياتك أعدادًا مجرّدة بلا وحدات، فستكون النتائج بدورها بلا أبعاد.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمتي س و ص لكل نقطة من النقاط الثلاث أ، ب، جـ، ثم اطّلع على المساحة والمحيط مباشرة. كما يوزّع الجدول المحيط على أضلاعه الثلاثة أ ب، ب جـ، جـ أ، حتى تتمكن من التحقق من طول كل ضلع على حدة.
شرح الصيغ المستخدمة
تُستخرج المساحة من صيغة رباط الحذاء (Shoelace). فالمقدار ذو الإشارة \((x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - y_1 \cdot x_2 - y_2 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_1)\) يساوي ضعف المساحة ذات الإشارة؛ وبقسمته على 2 وأخذ القيمة المطلقة نحصل على مساحة موجبة دائمًا، سواءً رُتّبت الرؤوس باتجاه عقارب الساعة أو عكسها.
$$A = \frac{1}{2}\left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$أمّا المحيط فهو ببساطة مجموع أطوال الأضلاع الثلاثة، ويُحسب طول كل ضلع بصيغة المسافة الفيثاغورية بين نقطتين.
$$P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}$$حيث:
$$\left\{ \begin{aligned} \overline{AB} &= \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \\ \overline{BC} &= \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2} \\ \overline{CA} &= \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
لِنأخذ النقاط أ(-2، 3)، ب(-3، -1)، جـ(3، -2): يكون مقدار الجداء التقاطعي \(= 2 + 6 + 9 + 9 + 3 - 4 = 25\)، ومنه المساحة \(A = \left| \frac{25}{2} \right| =\) 12.5. وتكون الأضلاع: \(\overline{AB} = \sqrt{17} \approx 4.1231\)، \(\overline{BC} = \sqrt{37} \approx 6.0828\)، \(\overline{CA} = \sqrt{50} \approx 7.0711\)، فيكون المحيط \(P \approx\) 17.27694.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن تكون المساحة صفرًا؟ المساحة الصفرية تعني أن النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة (أي على خط مستقيم واحد)، ومن ثمّ فهي لا تُكوّن مثلثًا حقيقيًا.
هل يؤثّر ترتيب النقاط في النتيجة؟ لا. فاستخدام القيمة المطلقة في صيغة رباط الحذاء يجعل المساحة مستقلة عن ترتيب الرؤوس، سواءً كان باتجاه عقارب الساعة أو عكسها.
هل يمكنني استخدام إحداثيات سالبة؟ نعم. تُقبل جميع الأعداد الحقيقية، بما في ذلك السالبة والعشرية.
