Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет полную строку знаковых чисел Стирлинга первого рода, обозначаемых \(s(n,k)\), для заданного вами неотрицательного целого \(n\). Он выводит все значения для \(k = 0, 1, 2, \ldots, n\) в виде таблицы, а также знаковую сумму строки и сумму модулей. Здесь используется знаковое соглашение: \(s(n,k)\) может быть как положительным, так и отрицательным. Беззнаковые числа (их ещё называют «числами циклов») \(c(n,k) = |s(n,k)|\) подсчитывают перестановки \(n\) элементов, имеющие ровно \(k\) непересекающихся циклов, и связаны со знаковыми соотношением \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\).
Формула
Знаковые числа Стирлинга первого рода — это коэффициенты в разложении убывающего факториала \((x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \sum_k s(n,k)\, x^k\). Они удовлетворяют рекуррентному соотношению $$s(n,k) = s(n-1,k-1) - (n-1)\cdot s(n-1,k)$$ с начальными условиями \(s(0,0) = 1\), \(s(n,0) = 0\) при \(n \geq 1\) и \(s(n,k) = 0\), если \(k < 0\) или \(k > n\). Обратите внимание, что \(s(n,n) = 1\) всегда.
Как пользоваться
Введите целое \(n\) от 0 до 25 и нажмите кнопку расчёта. Калькулятор строит строки методом динамического программирования, начиная с \([1]\) при \(n = 0\), и считывает итоговую строку. Знаковая сумма (равная 0 при \(n \geq 2\)) и сумма модулей (равная \(n!\)) служат удобными проверками правильности результата.
Разбор примера (n = 5)
Строим строки по очереди: при \(n=1\) получаем \([0, 1]\); при \(n=2\) — \([0, -1, 1]\); при \(n=3\) — \([0, 2, -3, 1]\); при \(n=4\) — \([0, -6, 11, -6, 1]\); и при \(n=5\) — \([0, 24, -50, 35, -10, 1]\). Проверка: $$|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!$$ а знаковая сумма $$0+24-50+35-10+1 = 0.$$
Частые вопросы
Знаковые или беззнаковые? Этот инструмент возвращает знаковые значения. Чтобы получить беззнаковые числа циклов \(c(n,k)\), возьмите модули.
Почему знаковая сумма равна 0? Подстановка \(x = 1\) в убывающий факториал даёт \((1)_n = 0\) при \(n \geq 2\), а это и есть сумма элементов строки \(s(n,k)\).
Почему максимальное n ограничено? Значения растут факториально, поэтому их величины очень быстро становятся огромными; \(n\) ограничено числом 25, чтобы таблица оставалась читаемой, а вычисления — надёжными.
