Bu araç ne işe yarar?
Bu araç, bir \(f(x)\) fonksiyonunun sonlu bir \([a, b]\) aralığındaki belirli integralini bileşik yamuk kuralı ile yaklaşık olarak hesaplar. Periyodik olmayan, analitik her integrand için çalışır ve evrensel bir matematik yöntemidir — sonuç birime, para birimine veya ülkeye bağlı değildir. Fonksiyonu, alt ve üst sınırları ve en fazla kaç alt aralık kullanılacağını siz belirtirsiniz; araç, bölme sayısını sürekli ikiye katlayarak tahmini iyileştirir ve yakınsayan değer dizisini gösterir.
Nasıl kullanılır?
Fonksiyonunuzu x cinsinden yazın — + - * / işlemleri, üs alma (^ veya **) ve sin, cos, tan, exp, log (doğal logaritma), ln, sqrt, abs gibi fonksiyonlar ile pi ve e sabitleri desteklenir. \(a\) ve \(b\) sınırlarını girin (herhangi bir reel sayı olabilir; \(a > b\) olduğunda işaret otomatik olarak ele alınır). En fazla alt bölüm sayısı \(N\)'yi seçin (32 ile 2048 arasında ikinin kuvveti olan bir değer). Verilen \(S\) sonucu, en büyük \(N\) için elde edilen yamuk değeridir.
Formülün açıklaması
\([a, b]\) aralığını her biri \(h = (b - a) / n\) genişliğinde \(n\) eşit parçaya bölün. Yamuk kuralı, her parçadaki eğriyi bir doğru parçasıyla değiştirir ve oluşan yamukların alanlarını toplar:
$$S(n) = \frac{h}{2}\cdot\left[ f(a) + 2\cdot(f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h)) + f(b) \right].$$ Uç noktalar bir kez, her iç düğüm noktası ise iki kez ağırlıklandırılır. Hata \(O(h^2)\) mertebesinde küçülür; bu nedenle \(n\)'yi ikiye katlamak, düzgün fonksiyonlarda hatayı yaklaşık dörtte birine indirir.
Çözümlü örnek
\([0, 1]\) aralığında \(f(x) = 4/(1+x^2)\) fonksiyonunu ele alalım; bu integralin tam değeri \(\pi\)'dir. \(n = 2\), \(h = 0.5\) için: \(f(0)=4\), \(f(0.5)=3.2\), \(f(1)=2\), dolayısıyla $$S = 0.25\cdot(4 + 2\cdot 3.2 + 2) = 3.1.$$ \(n = 4\) için \(3.131176\), \(n = 8\) için \(3.138988\) ve \(n = 64\) için yaklaşık \(3.141552\) değeri elde edilir — yani sonuç \(\pi = 3.14159265\ldots\) değerine giderek yaklaşır.
Sıkça sorulan sorular
Sonucum neden biraz sapıyor? Yamuk kuralı yaklaşık bir yöntemdir. Daha yüksek doğruluk için \(N\)'yi artırın; yakınsama tablosu sonucun ne kadar hızlı oturduğunu gösterir.
Periyodik veya tekil fonksiyonların integralini alabilir miyim? Yöntem, düzgün ve periyodik olmayan bir integrand varsayar. Uçlardaki veya iç noktalardaki tekilliklerde sonuç hatalı ya da tanımsız olabilir — bunun yerine bu duruma özel bir yöntem kullanın.
\(a\), \(b\)'ye eşitse ne olur? Genişliği sıfır olan bir aralıktaki integral \(0\)'dır; araç bu değeri doğrudan döndürür.
