この計算ツールでできること
このツールは、n点一般化ガウス・ラゲール求積法における分点（横座標）\(x_i\) と重み \(w_i\) を計算します。純粋数学の数値積分ツールであり、国や地域を問わず同じ結果が得られます。この求積公式は、重み関数 \(x^{\alpha}e^{-x}\) を含む半無限区間 [0, ∞) 上の積分を近似します。
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$分点は一般化ラゲール多項式 \(L_n^{(\alpha)}(x)\) の正の零点であり、f が \(2n-1\) 次以下の多項式である限り、この公式は厳密に成り立ちます。
使い方
まず次数 n（分点の数、2～100）を選び、指数パラメータ\(\alpha\)（−1 より大きい任意の実数。古典的なガウス・ラゲール公式では \(\alpha = 0\)）を入力し、表示したい有効桁数を指定します。結果は \(x_i\) の昇順に各分点とそれに対応する重みを一覧表示し、検算用の自己チェックも併せて表示します。
計算式と計算方法
各重みは閉じた形 $$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot\left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^2}$$ で表されます。本ツールでは、これと等価で数値的に安定したゴラブ・ウェルシュ（Golub-Welsch）法を内部的に用いています。すなわち、対角成分 \(a_k = 2k+\alpha+1\)、副対角成分 \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\) からなる対称三重対角ヤコビ行列を構成します。その固有値が分点となり、各重みは \(\mu_0\cdot\)（固有ベクトルの第1成分）\(^2\) に等しくなります。ここで \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) は0次モーメントです。この方法により、大きな階乗によるオーバーフローを回避できます。
計算例
\(n = 2\)、\(\alpha = 0\) の場合：\(L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2\) となるため、その根は \(x = 2 \pm \sqrt{2}\) で、\(x_1 = 0.5857864\)、\(x_2 = 3.4142136\) が得られます。重みは $$w_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{4} = 0.8535534, \quad w_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = 0.1464466$$ となります。これらの和は \(1 = \Gamma(1)\) となり、結果が正しいことが確認できます。
よくある質問
\(\alpha\) は何を表しますか？ 重み \(x^{\alpha}\) を決めるパラメータです。\(\alpha = 0\) で標準的なガウス・ラゲール公式となり、\(\alpha > 0\) にすると原点から離れた領域に重みが偏ります。−1 より大きい値でなければなりません。
どのくらい正確ですか？ n点公式は \(2n-1\) 次までの多項式を厳密に積分します。滑らかな関数であれば急速に収束します。
結果はどうやって検算できますか？ すべての重みの和は常に \(\Gamma(\alpha+1)\) に等しくなります。これは0次モーメントの行として表示されます。
