Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula los nodos (abscisas) \(x_i\) y los pesos \(w_i\) de la cuadratura generalizada de Gauss-Laguerre de n puntos. Es una herramienta de integración numérica de matemática pura que funciona igual en cualquier lugar. La regla aproxima integrales sobre el intervalo semiinfinito [0, ∞) que llevan la función de peso \(x^{\alpha}e^{-x}\):
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i).$$Los nodos son los ceros positivos del polinomio generalizado de Laguerre \(L_n^{(\alpha)}(x)\), y la regla es exacta siempre que f sea un polinomio de grado a lo sumo \(2n-1\).
Cómo se usa
Elige el orden n (número de puntos, de 2 a 100), introduce el parámetro de exponente \(\alpha\) (cualquier número real mayor que −1; la regla clásica de Gauss-Laguerre usa \(\alpha = 0\)) y selecciona cuántas cifras significativas quieres mostrar. El resultado enumera cada nodo con su peso emparejado, ordenados de menor a mayor \(x_i\), además de una comprobación automática integrada.
La fórmula y el método
Cada peso obedece a la forma cerrada $$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot\left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^2}.$$ Internamente empleamos el método equivalente y numéricamente estable de Golub-Welsch: se construye la matriz de Jacobi tridiagonal y simétrica, con diagonal \(a_k = 2k+\alpha+1\) y subdiagonales \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\). Sus valores propios son los nodos, y cada peso es igual a \(\mu_0\cdot(\text{primera componente del vector propio})^2\), donde \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) es el momento de orden cero. Así se evita el desbordamiento que provocarían los factoriales grandes.
Ejemplo resuelto
Para \(n = 2\), \(\alpha = 0\): $$L_2^{(0)}(x) = \frac{x^2-4x+2}{2},$$ por lo que las raíces son \(x = 2 \pm \sqrt{2}\), lo que da \(x_1 = 0.5857864\) y \(x_2 = 3.4142136\). Los pesos son \(w_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{4} = 0.8535534\) y \(w_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = 0.1464466\). Su suma es \(1 = \Gamma(1)\), lo que confirma el resultado.
Preguntas frecuentes
¿Qué papel juega \(\alpha\)? Fija el peso \(x^{\alpha}\); con \(\alpha = 0\) se obtiene la cuadratura estándar de Gauss-Laguerre, mientras que \(\alpha > 0\) desplaza el peso lejos del origen. Debe ser mayor que −1.
¿Cómo de precisa es? La regla de n puntos integra de forma exacta polinomios de hasta grado \(2n-1\); las funciones suaves convergen con rapidez.
¿Cómo puedo verificar el resultado? La suma de todos los pesos siempre es igual a \(\Gamma(\alpha+1)\), que aparece en la fila del momento de orden cero.
