Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula los nodos (abscisas) \(x_i\) y los pesos \(w_i\) de la regla de cuadratura de Gauss-Lobatto de \(n\) puntos sobre el intervalo de referencia \([-1, 1]\) con función de peso \(w(x) = 1\). A diferencia de la cuadratura de Gauss-Legendre habitual, la regla de Gauss-Lobatto siempre incluye los dos extremos \(x = -1\) y \(x = +1\) como nodos de cuadratura, algo muy útil cuando los valores en la frontera son importantes (por ejemplo, en los métodos de elementos espectrales). Se trata de análisis numérico puro y se aplica exactamente igual en cualquier lugar; no depende de ningún país ni región.
Cómo usarla
Elige el número de puntos \(n\) (entre 2 y 100) y, si lo deseas, la precisión de visualización. La calculadora devuelve una tabla con \(n\) filas, cada una con el nodo \(x_i\) y su peso \(w_i\). Los nodos son simétricos respecto a 0 y los pesos también lo son, de modo que \(x_i\) y \(-x_i\) comparten el mismo peso. Como comprobación incorporada, la suma de todos los pesos es igual a 2, la longitud del intervalo.
La fórmula explicada
La regla aproxima la integral mediante la suma \(w_1 f(x_1) + \cdots + w_n f(x_n)\) y es exacta para polinomios hasta grado \(2n-3\).
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_{n} = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{interior}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right.$$Los nodos interiores \(x_2, \ldots, x_{n-1}\) son los \(n-2\) ceros de \(P'_{n-1}(x)\), la derivada del polinomio de Legendre de grado \(n-1\). Los extremos toman el peso \(\frac{2}{n(n-1)}\), mientras que cada nodo interior \(x_i\) toma el peso \(\frac{2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_i)]^2}\). La calculadora obtiene las raíces interiores mediante iteración de Newton partiendo de las aproximaciones de Chebyshev-Gauss-Lobatto \(\cos(\pi j / (n-1))\), lo que proporciona doble precisión completa (unos 15-16 dígitos significativos).
![Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-e6654dfc74/gauss-lobatto-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Ejemplo resuelto (n = 4)
Los nodos interiores resuelven \(P'_3(x) = (15x^2 - 3)/2 = 0\), por lo que \(x = \pm 1/\sqrt{5} = \pm 0.4472135955\). El peso de los extremos es
$$\frac{2}{4\cdot 3} = \frac{1}{6} = 0.1666666667$$Para los nodos interiores, \(P_3(1/\sqrt 5) = -0.4472135955\), cuyo cuadrado es \(0.2\), lo que da el peso
$$\frac{2}{4\cdot 3\cdot 0.2} = \frac{5}{6} = 0.8333333333$$La suma \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 2\) confirma la regla.
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia de Gauss-Legendre? Gauss-Legendre coloca todos los nodos estrictamente dentro de \((-1, 1)\) y es exacta hasta grado \(2n-1\). Gauss-Lobatto fija ambos extremos como nodos y es exacta hasta grado \(2n-3\), sacrificando dos grados de precisión a cambio de incluir la frontera.
¿Cómo los uso en un intervalo general [a, b]? Transforma cada nodo con \(x \to \frac{b-a}{2} x + \frac{a+b}{2}\) y multiplica cada peso por \(\frac{b-a}{2}\). Esta página solo proporciona los valores para \([-1, 1]\).
¿Por qué los pesos deben sumar 2? Integrar \(f(x) = 1\) sobre \([-1, 1]\) da 2 y, como la regla es exacta para las constantes, los pesos tienen que sumar la longitud del intervalo.
