Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule les nœuds (abscisses) \(x_i\) et les poids \(w_i\) de la règle de quadrature de Gauss-Lobatto à \(n\) points sur l'intervalle de référence \([-1, 1]\), avec la fonction de pondération \(w(x) = 1\). Contrairement à la quadrature de Gauss-Legendre classique, la règle de Gauss-Lobatto impose toujours les deux bornes \(x = -1\) et \(x = +1\) comme nœuds de quadrature, ce qui s'avère précieux lorsque les valeurs aux frontières comptent (par exemple dans les méthodes des éléments spectraux). Il s'agit d'analyse numérique pure : la méthode s'applique de façon identique partout et ne dépend d'aucun pays ni d'aucune région.
Comment l'utiliser
Choisissez le nombre de points \(n\) (entre 2 et 100) et, éventuellement, une précision d'affichage. Le calculateur renvoie un tableau de \(n\) lignes, chacune indiquant le nœud \(x_i\) et son poids \(w_i\). Les nœuds sont symétriques par rapport à 0 et les poids le sont également : \(x_i\) et \(-x_i\) partagent donc le même poids. À titre de vérification intégrée, la somme de tous les poids vaut 2, soit la longueur de l'intervalle.
La formule expliquée
La règle approche l'intégrale par la somme \(w_1 f(x_1) + \dots + w_n f(x_n)\) et est exacte pour les polynômes jusqu'au degré \(2n-3\). Les nœuds intérieurs \(x_2, \dots, x_{n-1}\) sont les \(n-2\) zéros de \(P_{n-1}^{\prime}(x)\), la dérivée du polynôme de Legendre de degré \(n-1\). Les bornes reçoivent le poids \(\dfrac{2}{n(n-1)}\), tandis que chaque nœud intérieur \(x_i\) reçoit le poids \(\dfrac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^2}\). Le calculateur détermine les racines intérieures par itération de Newton, en partant des estimations de Tchebychev-Gauss-Lobatto \(\cos\!\left(\dfrac{\pi j}{n-1}\right)\), ce qui assure une pleine précision en double (environ 15 à 16 chiffres significatifs).
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$$$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_{n} = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{intérieur}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right.$$![Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-e6654dfc74/gauss-lobatto-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Exemple détaillé (n = 4)
Les nœuds intérieurs vérifient \(P_3^{\prime}(x) = \dfrac{15x^2 - 3}{2} = 0\), d'où \(x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0{,}4472135955\). Le poids aux bornes vaut \(\dfrac{2}{4\cdot 3} = \dfrac{1}{6} = 0{,}1666666667\). Pour les nœuds intérieurs, \(P_3\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0{,}4472135955\), dont le carré vaut \(0{,}2\), ce qui donne le poids \(\dfrac{2}{4\cdot 3\cdot 0{,}2} = \dfrac{5}{6} = 0{,}8333333333\). La somme \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 2\) confirme la règle.
FAQ
En quoi cette règle diffère-t-elle de Gauss-Legendre ? Gauss-Legendre place tous les nœuds strictement à l'intérieur de \((-1, 1)\) et est exacte jusqu'au degré \(2n-1\). Gauss-Lobatto fixe les deux bornes comme nœuds et est exacte jusqu'au degré \(2n-3\) : on sacrifie deux degrés de précision pour inclure les frontières.
Comment les utiliser sur un intervalle quelconque [a, b] ? Transformez chaque nœud avec \(x \to \dfrac{b-a}{2}\, x + \dfrac{a+b}{2}\) et multipliez chaque poids par \(\dfrac{b-a}{2}\). Cette page ne fournit que les valeurs sur \([-1, 1]\).
Pourquoi la somme des poids doit-elle valoir 2 ? L'intégrale de \(f(x) = 1\) sur \([-1, 1]\) vaut 2, et la règle est exacte pour les constantes : les poids doivent donc totaliser la longueur de l'intervalle.
