أدخل الحساب

نتائج

Gauss-Lobatto rule, n = 20

points on the interval [-1, 1] · sum of weights = ٢

i	العقدة x_i	الوزن w_i
1	؜-١	٠٫٠٠٥٢٦٣١٥٧٨٩٤٧٣٧
2	؜-٠٫٩٨٠٧٤٣٧٠٤٨٩٣٩١٤	٠٫٠٣٢٢٣٧١٢٣١٨٨٤٨٩
3	؜-٠٫٩٣٥٩٣٤٤٩٨٨١٢٦٦٥	٠٫٠٥٧١٨١٨٠٢١٢٧٥٦٧
4	؜-٠٫٨٦٦٨٧٧٩٧٨٠٨٩٩٥	٠٫٠٨٠٦٣١٧٦٣٩٩٦١٢
5	؜-٠٫٧٧٥٣٦٨٢٦٠٩٥٢٠٥٦	٠٫١٠١٩٩١٤٩٩٦٩٩٤٥١
6	؜-٠٫٦٦٣٧٧٦٤٠٢٢٩٠٣١١	٠٫١٢٠٧٠٩٢٢٧٦٢٨٦٧٥
7	؜-٠٫٥٣٤٩٩٢٨٦٤٠٣١٨٨٦	٠٫١٣٦٣٠٠٤٨٢٣٥٨٧٢٤
8	؜-٠٫٣٩٢٣٥٣١٨٣٧١٣٩٠٩	٠٫١٤٨٣٦١٥٥٤٠٧٠٩١٧
9	؜-٠٫٢٣٩٥٥١٧٠٥٩٢٢٩٨٦	٠٫١٥٦٥٨٠١٠٢٦٤٧٤٧٥
10	؜-٠٫٠٨٠٥٤٥٩٣٧٢٣٨٨٢٢	٠٫١٦٠٧٤٣٢٨٦٣٨٧٨٤٦
11	٠٫٠٨٠٥٤٥٩٣٧٢٣٨٨٢٢	٠٫١٦٠٧٤٣٢٨٦٣٨٧٨٤٦
12	٠٫٢٣٩٥٥١٧٠٥٩٢٢٩٨٦	٠٫١٥٦٥٨٠١٠٢٦٤٧٤٧٥
13	٠٫٣٩٢٣٥٣١٨٣٧١٣٩٠٩	٠٫١٤٨٣٦١٥٥٤٠٧٠٩١٧
14	٠٫٥٣٤٩٩٢٨٦٤٠٣١٨٨٦	٠٫١٣٦٣٠٠٤٨٢٣٥٨٧٢٤
15	٠٫٦٦٣٧٧٦٤٠٢٢٩٠٣١١	٠٫١٢٠٧٠٩٢٢٧٦٢٨٦٧٥
16	٠٫٧٧٥٣٦٨٢٦٠٩٥٢٠٥٦	٠٫١٠١٩٩١٤٩٩٦٩٩٤٥١
17	٠٫٨٦٦٨٧٧٩٧٨٠٨٩٩٥	٠٫٠٨٠٦٣١٧٦٣٩٩٦١٢
18	٠٫٩٣٥٩٣٤٤٩٨٨١٢٦٦٥	٠٫٠٥٧١٨١٨٠٢١٢٧٥٦٧
19	٠٫٩٨٠٧٤٣٧٠٤٨٩٣٩١٤	٠٫٠٣٢٢٣٧١٢٣١٨٨٤٨٩
20	١	٠٫٠٠٥٢٦٣١٥٧٨٩٤٧٣٧

ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

تحسب هذه الأداة العُقَد (الأفاصيل) $x_i$ والأوزان $w_i$ لقاعدة تربيع جاوس-لوباتو ذات النقاط $n$ على المجال المرجعي $[-1, 1]$ مع دالة الوزن $w(x) = 1$. وعلى خلاف تربيع جاوس-ليجاندر القياسي، تُجبر قاعدة جاوس-لوباتو دائمًا طرفَي المجال $x = -1$ و $x = +1$ على أن يكونا من عُقَد التربيع، وهو أمر بالغ الأهمية حين تكون القيم عند الحدود مهمة (كما في طرائق العناصر الطيفية مثلًا). هذا تحليل عددي بحت ينطبق بالطريقة نفسها في كل مكان؛ فهو ليس مرتبطًا بمنطقة أو دولة بعينها.

Number line from -1 to 1 with quadrature nodes including both endpoints, each marked by a vertical weight bar — Gauss-Lobatto nodes on [-1, 1] include both endpoints; bar heights suggest the associated weights.

طريقة الاستخدام

اختر عدد النقاط $n$ (بين 2 و 100)، ويمكنك اختياريًا تحديد دقة العرض. تُعيد الحاسبة جدولًا من $n$ صفًا، يعطي كل صف العقدة $x_i$ ووزنها $w_i$. العُقَد متناظرة حول الصفر، والأوزان متناظرة كذلك، فالعقدتان $x_i$ و $-x_i$ تشتركان في الوزن نفسه. وكفحص ذاتي مدمج للتأكد من صحة النتائج، يساوي مجموع جميع الأوزان 2، وهو طول المجال.

شرح الصيغة

تقرّب القاعدة قيمة التكامل بالمجموع $w_1 f(x_1) + \ldots + w_n f(x_n)$، وهي دقيقة تمامًا لكثيرات الحدود حتى الدرجة $2n-3$. العُقَد الداخلية $x_2, \ldots, x_{n-1}$ هي الأصفار $n-2$ للمشتقة $P_{n-1}^{\prime}(x)$، أي مشتقة كثيرة حدود ليجاندر من الدرجة $n-1$. يأخذ الطرفان الوزن $\frac{2}{n(n-1)}$، بينما تأخذ كل عقدة داخلية $x_i$ الوزن $\frac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}}$. تجد الحاسبة الجذور الداخلية بطريقة تكرار نيوتن انطلاقًا من تخمينات تشيبيشيف-جاوس-لوباتو $\cos\!\left(\frac{\pi j}{n-1}\right)$، ما يمنح دقة مضاعفة كاملة (نحو 15-16 رقمًا معنويًا).

$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_{n} = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{interior}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right.$$

Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints — The integral is approximated by a weighted sum of function values at the nodes, with the two endpoints always included.

مثال محلول (n = 4)

تحقق العُقَد الداخلية المعادلة $P_3^{\prime}(x) = \frac{15x^2 - 3}{2} = 0$، ومن ثَم $x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955$. وزن الطرف هو $\frac{2}{4\cdot 3} = \frac{1}{6} = 0.1666666667$. وبالنسبة إلى العُقَد الداخلية فإن $P_3\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955$، ومربعها $0.2$، ما يعطي الوزن $\frac{2}{4\cdot 3\cdot 0.2} = \frac{5}{6} = 0.8333333333$. والمجموع $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 2$، وهو ما يؤكد صحة القاعدة.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بينها وبين جاوس-ليجاندر؟ تضع قاعدة جاوس-ليجاندر جميع العُقَد داخل المجال المفتوح $(-1, 1)$ تمامًا، وهي دقيقة حتى الدرجة $2n-1$. أما جاوس-لوباتو فتثبّت طرفَي المجال كعُقَد وتكون دقيقة حتى الدرجة $2n-3$، أي إنها تضحّي بدرجتَي دقة مقابل تضمين الحدود.

كيف أستخدم هذه القيم على مجال عام [a, b]؟ حوّل كل عقدة بالعلاقة $x \leftarrow \frac{b-a}{2}\, x + \frac{a+b}{2}$، واضرب كل وزن في $\frac{b-a}{2}$. هذه الصفحة تُخرج قيم المجال $[-1, 1]$ فقط.

لماذا يجب أن يساوي مجموع الأوزان 2؟ لأن تكامل الدالة $f(x) = 1$ على المجال $[-1, 1]$ يساوي 2، والقاعدة دقيقة للثوابت، لذا لا بد أن يكون مجموع الأوزان مساويًا لطول المجال.

الآلات الحاسبة ذات الصلة