ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة العُقد (الإحداثيات السينية) \(x_i\) والأوزان \(w_i\) لطريقة غاوس-لاغير المعمّمة للتكامل العددي بـ n نقطة. إنها أداة رياضية بحتة للتكامل العددي تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان. تقرّب هذه القاعدة التكاملات على المجال نصف اللانهائي [0، ∞) التي تحمل دالة الوزن \(x^{\alpha}e^{-x}\):
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i).$$العُقد هي الجذور الموجبة لكثير حدود لاغير المعمّم \(L_n^{(\alpha)}(x)\)، وتكون القاعدة دقيقة تماماً كلما كانت f كثير حدود من الدرجة \(2n-1\) على الأكثر.
كيفية الاستخدام
اختر الرتبة n (عدد النقاط، من 2 إلى 100)، وأدخل وسيط الأس \(\alpha\) (أي عدد حقيقي أكبر من \(-1\)؛ وتستخدم قاعدة غاوس-لاغير الكلاسيكية القيمة \(\alpha = 0\))، ثم حدّد عدد الأرقام المعنوية المعروضة الذي ترغب فيه. تسرد النتيجة كل عقدة والوزن المقترن بها مرتبةً تصاعدياً حسب \(x_i\)، إضافة إلى تحقّق ذاتي مدمج.
الصيغة والطريقة
يخضع كل وزن للصيغة المغلقة $$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot \left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^2}.$$ أما داخلياً فنستخدم طريقة غولوب-ولش المكافئة والمستقرة عددياً: نبني مصفوفة ياكوبي الثلاثية القطرية المتناظرة بقُطرها الرئيسي \(a_k = 2k+\alpha+1\) وعنصريها خارج القطر \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\). قيمها الذاتية هي العُقد، ويساوي كل وزن \(\mu_0\cdot(\text{المركّبة الأولى للمتجه الذاتي})^2\)، حيث \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) هو العزم الصفري. وتتجنّب هذه الطريقة الطفحان الناتج عن المضروبات الكبيرة.
مثال محلول
لأجل \(n = 2\) و\(\alpha = 0\): نجد \(L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2\)، ومن ثمّ تكون الجذور \(x = 2 \pm \sqrt{2}\)، فينتج \(x_1 = 0.5857864\) و\(x_2 = 3.4142136\). أما الأوزان فهي \(w_1 = (2+\sqrt{2})/4 = 0.8535534\) و\(w_2 = (2-\sqrt{2})/4 = 0.1464466\). ومجموعها يساوي \(1 = \Gamma(1)\)، وهو ما يؤكّد صحة النتيجة.
الأسئلة الشائعة
ما دور \(\alpha\)؟ يحدّد دالة الوزن \(x^{\alpha}\)؛ فالقيمة \(\alpha = 0\) تعطي طريقة غاوس-لاغير القياسية، بينما تزيد القيمة \(\alpha > 0\) من تركيز الوزن بعيداً عن نقطة الأصل. ويجب أن يكون أكبر من \(-1\).
ما مدى دقتها؟ تكامل القاعدة بـ n نقطة كثيرات الحدود حتى الدرجة \(2n-1\) بدقة تامة، وتتقارب الدوال الملساء بسرعة.
كيف أتحقق من النتيجة؟ مجموع جميع الأوزان يساوي دائماً \(\Gamma(\alpha+1)\)، وهو معروض في صف العزم الصفري.
