गॉस-क्रोनरोड न्यूमेरिकल इंटीग्रेशन कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी फलन \(f(x)\) का एक परिमित अंतराल \([a, b]\) पर निश्चित समाकलन (definite integral) गॉस-प्रकार के क्वाडरेचर से निकालता है। यह सावधानी से चुने गए नोड्स पर इंटीग्रैंड का मान निकालता है, उन्हें पहले से तय किए गए भार (weights) से गुणा करता है और सभी योगदानों को जोड़ देता है। एक उच्च-कोटि अनुमान \(K\) की तुलना एक निम्न-कोटि गॉस-लेजेंड्रे अनुमान \(G\) से की जाती है, जिससे त्रुटि सीमा \(|K - G|\) प्राप्त होती है — यानी परिणाम पर आपका भरोसा और मज़बूत होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
x में एक गणितीय व्यंजक डालें (उदाहरण के लिए 4/(1+x^2) या sin(x)), निचली सीमा \(a\) और ऊपरी सीमा \(b\) तय करें, और इस नियम के लिए बिंदुओं की संख्या \(n\) चुनें (विषम संख्या, 3 से 99 तक)। चिकने (smooth) इंटीग्रैंड के लिए जितने अधिक बिंदु, उतनी अधिक सटीकता। समर्थित सिंटैक्स में + - * / ^, कोष्ठक, और sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, sinh, cosh, tanh के साथ-साथ स्थिरांक pi और e शामिल हैं।
सूत्र
क्वाडरेचर नियम \([-1, 1]\) पर इंटीग्रैंड मानों के भारित योग (weighted sum) के रूप में परिभाषित होते हैं। \([a, b]\) पर समाकलन के लिए एक एफाइन चर-परिवर्तन (affine change of variable) लगाया जाता है: \(x(t) = \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}\), जिसमें \(dx = \frac{b-a}{2} dt\)। इसलिए समाकलन का मान \(\frac{b-a}{2}\) गुणा भार \(w_i\) और मैप किए गए नोड्स पर \(f\) के मानों के योग के बराबर होता है।
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$गॉस-लेजेंड्रे नोड्स लेजेंड्रे बहुपद के मूल (roots) होते हैं, जिन्हें यहाँ न्यूटन विधि से ज्ञात किया जाता है, और भार \(w_i = \frac{2}{(1 - t_i^2)\, P'_m(t_i)^2}\) होते हैं।
हल किया गया उदाहरण
\(f(x) = \sin(x)\) के लिए \([0, \pi]\) पर सटीक समाकलन \([-\cos(x)]\) को 0 से \(\pi\) तक \(= -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2\) है। कैलकुलेटर लगभग 2 लौटाता है, जिसमें अनुमानित त्रुटि बहुत ही छोटी होती है। इसी तरह \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) पर \([0, 1]\) में परिणाम \(\pi = 3.14159265\) आता है, क्योंकि \(4\cdot\arctan(1) = \pi\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
n विषम (odd) क्यों होना चाहिए? अंतर्निहित (embedded) गॉस-क्रोनरोड युग्म \(m = \frac{n-1}{2}\) गॉस नोड्स का पुनः उपयोग करता है, जिसके लिए कुल नोड संख्या का विषम होना ज़रूरी है।
त्रुटि अनुमान का क्या अर्थ है? यह उच्च-कोटि और निम्न-कोटि अनुमानों के बीच का परम अंतर (absolute difference) है; छोटा मान अभिसरण (convergence) का संकेत देता है।
विचित्रताओं (singularities) का क्या? समाकलनीय अंत-बिंदु विचित्रताएँ सटीकता घटाती हैं। अपरिमित (non-finite) मानों को छोड़ दिया जाता है, और \(a = b\) होने पर ठीक 0 लौटाया जाता है।
