什么是高斯-克朗罗德数值积分计算器？
这款工具采用高斯型求积法，计算函数 \(f(x)\) 在有限区间 \([a, b]\) 上的定积分。它在精心选取的节点处计算被积函数的取值，再乘以预先算好的权重并求和。工具会用高阶估计值 \(K\) 与低阶高斯-勒让德估计值 \(G\) 进行比较，得出误差上界 \(|K - G|\)，让你对计算结果更有把握。
使用方法
输入一个关于 \(x\) 的数学表达式（例如 4/(1+x^2) 或 sin(x)），设定积分下限 \(a\) 与上限 \(b\)，再选择求积规则的节点数 \(n\)（奇数，范围为 3 到 99）。对于光滑的被积函数，节点越多精度越高。支持的语法包括 + - * / ^、括号，以及 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln、log、sqrt、abs、sinh、cosh、tanh 等函数，还有常数 pi 和 e。
计算公式
求积规则定义在 \([-1, 1]\) 区间上，表示为被积函数取值的加权求和。要在 \([a, b]\) 上积分，需要做一次仿射变量替换：\(x(t) = \frac{b-a}{2}\cdot t + \frac{a+b}{2}\)，其中 \(dx = \frac{b-a}{2}\cdot dt\)。因此积分值等于 \(\frac{b-a}{2}\) 乘以权重 \(w_i\) 与映射后节点处 \(f\) 取值乘积之和。 $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$ 高斯-勒让德节点是勒让德多项式的根，本工具通过牛顿法求得，对应权重为 \(w_i = \dfrac{2}{(1 - t_i^2)\cdot P'_m(t_i)^2}\)。
实例演示
对于 \(f(x) = \sin(x)\) 在 \([0, \pi]\) 上的积分，精确值为 $$[-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$$ 计算器返回的结果约为 2，估计误差极小。同理，\(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) 在 \([0, 1]\) 上的积分返回 \(\pi = 3.14159265\)，因为 \(4\cdot\arctan(1) = \pi\)。
常见问题
为什么 \(n\) 必须是奇数？嵌套的高斯-克朗罗德节点对会复用 \(m = \frac{n-1}{2}\) 个高斯节点，因此要求总节点数为奇数。
误差估计代表什么？它是高阶估计值与低阶估计值之间的绝对差；数值越小，说明结果收敛得越好。
遇到奇点怎么办？可积的端点奇点会降低计算精度。非有限的取值会被跳过，而当 \(a = b\) 时直接返回 0。
