Что такое калькулятор интегрирования Гаусса — Кронрода?
Этот инструмент вычисляет определённый интеграл функции \(f(x)\) на конечном отрезке \([a, b]\) с помощью квадратур гауссова типа. Подынтегральная функция вычисляется в специально подобранных узлах, умножается на заранее рассчитанные веса, а результаты суммируются. Оценка более высокого порядка \(K\) сравнивается с оценкой Гаусса — Лежандра более низкого порядка \(G\), что даёт границу погрешности \(|K - G|\) и позволяет судить о надёжности полученного значения.
Как пользоваться
Введите математическое выражение от \(x\) (например, 4/(1+x^2) или sin(x)), задайте нижний предел \(a\) и верхний предел \(b\) и выберите число точек \(n\) для правила (нечётное, от 3 до 99). Чем больше точек, тем выше точность для гладких подынтегральных функций. Поддерживаются операторы + − * / ^, скобки, а также функции sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, sinh, cosh, tanh и константы pi и e.
Формула
Квадратурные правила задаются на отрезке \([-1, 1]\) как взвешенная сумма значений подынтегральной функции. Чтобы проинтегрировать по \([a, b]\), применяют аффинную замену переменной: \(x(t) = \frac{b-a}{2} \cdot t + \frac{a+b}{2}\), при этом \(dx = \frac{b-a}{2} \cdot dt\). Поэтому интеграл равен \(\frac{b-a}{2}\), умноженному на сумму весов \(w_i\) на значения \(f\) в отображённых узлах.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$Узлы Гаусса — Лежандра — это корни многочлена Лежандра; здесь они находятся методом Ньютона, а веса вычисляются как \(w_i = \dfrac{2}{(1 - t_i^2) \cdot P'_m(t_i)^2}\).
Разобранный пример
Для \(f(x) = \sin(x)\) на \([0, \pi]\) точное значение интеграла равно $$\left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2.$$ Калькулятор выдаёт примерно 2 с крошечной оценкой погрешности. Аналогично \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) на \([0, 1]\) даёт \(\pi = 3{,}14159265\), поскольку \(4 \cdot \arctan(1) = \pi\).
Частые вопросы
Почему n должно быть нечётным? Встроенная пара Гаусса — Кронрода повторно использует \(m = \frac{n-1}{2}\) узлов Гаусса, а это требует нечётного общего числа узлов.
Что означает оценка погрешности? Это абсолютная разность между оценками высокого и низкого порядка; малое значение говорит о сходимости.
А как быть с особыми точками? Интегрируемые особенности на концах отрезка снижают точность. Значения, не являющиеся конечными числами, пропускаются, а при \(a = b\) результат равен ровно 0.
