Что такое перевод из полярных координат в декартовы?
Полярные координаты задают точку на плоскости через расстояние до начала координат — радиус r — и угол θ, отсчитываемый от положительного направления оси X. Декартовы (прямоугольные) координаты описывают ту же самую точку иначе: через её горизонтальное и вертикальное смещение, то есть значения x и y. Этот калькулятор переводит любую точку, заданную в полярной системе, в эквивалентную декартову форму. Угол можно вводить как в градусах, так и в радианах.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус r (расстояние от начала координат), а затем угол θ. С помощью переключателя выберите, в чём задан угол — в градусах или радианах. Калькулятор мгновенно выдаст соответствующие координаты x и y. Радиус может быть любым действительным числом: отрицательный радиус просто отражает точку через начало координат, что равносильно повороту угла на 180 градусов (θ + 180°).
Разбор формулы
В основе перевода лежит элементарная тригонометрия: \(x = r\cos(\theta)\) и \(y = r\sin(\theta)\). Поскольку тригонометрические функции работают с радианами, угол, заданный в градусах, сначала переводится с помощью множителя \(\pi/180\). То есть \(\theta_{\text{рад}} = \theta \cdot (\pi/180)\) для градусов или \(\theta_{\text{рад}} = \theta\) напрямую, если угол уже задан в радианах.
$$x = r \cos\!\left(\theta \cdot \frac{\pi}{180}\right), \quad y = r \sin\!\left(\theta \cdot \frac{\pi}{180}\right)$$
Пример расчёта
Пусть \(r = 5\), а \(\theta = 60\) градусов. Переводим угол: $$\theta_{\text{рад}} = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = 1{,}047197551 \text{ рад}.$$ Тогда $$x = 5 \cdot \cos(60°) = 5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5,$$ а $$y = 5 \cdot \sin(60°) = 5 \cdot 0{,}8660254038 = 4{,}330127019.$$ Итоговая точка в декартовых координатах: \((2{,}5;\ 4{,}330127019)\).
Частые вопросы
Что будет, если r = 0? Точка совпадает с началом координат, поэтому x = 0 и y = 0 при любом значении угла.
Может ли радиус быть отрицательным? Да. Отрицательный радиус математически корректен и помещает точку в противоположном направлении — это равносильно прибавлению к углу 180 градусов (π радиан).
Должен ли угол лежать в диапазоне от 0 до 360 градусов? Нет. Подойдёт любой действительный угол, ведь синус и косинус периодичны и сами «обрабатывают» весь диапазон значений. Приводить угол по модулю не нужно.
