बहुभुज के विकर्णों की संख्या क्या होती है?
विकर्ण एक सीधी रेखा होती है जो बहुभुज के दो ऐसे शीर्षों (vertices) को जोड़ती है जो आपस में सटे हुए न हों। भुजाएँ तो आस-पास के शीर्षों को जोड़ती हैं, इसलिए उन्हें विकर्ण नहीं गिना जाता। यह कैलकुलेटर सिर्फ़ भुजाओं की संख्या \(n\) के आधार पर ठीक-ठीक बता देता है कि किसी भी बहुभुज में कितने विकर्ण होंगे।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने बहुभुज की भुजाओं की संख्या दर्ज करें — जैसे त्रिभुज के लिए 3, चतुर्भुज के लिए 4, पंचभुज के लिए 5, और इसी तरह आगे। कैलकुलेटर तुरंत विकर्णों की कुल संख्या बता देगा। ध्यान रहे, भुजाओं की संख्या कम से कम 3 होनी चाहिए, क्योंकि तीन से कम भुजाओं से कोई बंद बहुभुज नहीं बन सकता।
सूत्र की व्याख्या
विकर्णों की संख्या इस सूत्र से निकलती है: $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$। हर एक \(n\) शीर्ष, बाकी के \(n - 3\) शीर्षों से विकर्ण के ज़रिए जुड़ सकता है (खुद को और अपने दोनों पड़ोसी शीर्षों को छोड़कर)। इससे कुल \(n(n - 3)\) जोड़ बनते हैं, लेकिन हर विकर्ण दो बार गिना जाता है — एक बार उसके दोनों सिरों से — इसलिए हम इसे 2 से भाग देते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
एक षट्भुज (hexagon) लीजिए, जिसमें \(n = 6\) भुजाएँ होती हैं। सूत्र में रखने पर: $$D = \frac{6 \times (6 - 3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ यानी षट्भुज में 9 विकर्ण होते हैं। पंचभुज (\(n = 5\)) के लिए: \(D = \frac{5 \times 2}{2} = 5\) विकर्ण।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
त्रिभुज में कितने विकर्ण होते हैं? शून्य। \(n = 3\) रखने पर, \(D = \frac{3 \times 0}{2} = 0\), क्योंकि शीर्षों का हर जोड़ा पहले से ही किसी न किसी भुजा से जुड़ा होता है।
क्या आकृति का सम (regular) होना ज़रूरी है? नहीं। यह सूत्र सिर्फ़ भुजाओं की संख्या पर निर्भर करता है, इसलिए यह किसी भी सरल (बिना आपस में काटे हुए) बहुभुज पर काम करता है — चाहे वह सम हो या विषम।
एक वर्ग में कितने विकर्ण होते हैं? वर्ग (\(n = 4\)) में \(D = \frac{4 \times 1}{2} = 2\) विकर्ण होते हैं।
