बहुभुज का विकर्ण क्या होता है?
बहुभुज का विकर्ण एक सीधी रेखा-खंड होती है जो दो ऐसे शीर्षों (कोनों) को जोड़ती है जो आपस में सटे हुए नहीं होते। बहुभुज की भुजाएँ विकर्ण नहीं मानी जातीं, क्योंकि वे पास-पास वाले शीर्षों को ही जोड़ती हैं। यह कैलकुलेटर मानक संयोजन (combinatorial) फॉर्मूले का इस्तेमाल करके आपको ठीक-ठीक बताता है कि त्रिभुज से लेकर हज़ार भुजाओं वाली आकृति तक, किसी भी बहुभुज में कितने विकर्ण होते हैं।
कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
अपने बहुभुज की भुजाओं की संख्या n डालें (जो शीर्षों की संख्या के बराबर होती है), और कैलकुलेटर विकर्णों की कुल संख्या बता देगा। भुजाओं की संख्या 3 या उससे ज़्यादा होनी चाहिए, क्योंकि त्रिभुज सबसे छोटा बहुभुज है। ध्यान रखें कि त्रिभुज में शून्य विकर्ण होते हैं — उसके सभी शीर्ष आपस में सटे हुए होते हैं।
फॉर्मूला समझें
फॉर्मूला है $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$। हर एक शीर्ष (कुल n में से) बाकी \(n - 3\) शीर्षों से जुड़कर विकर्ण बना सकता है: इसमें से आप खुद उस शीर्ष को और उसके दोनों पड़ोसी शीर्षों को घटा देते हैं। इससे \(n(n - 3)\) सिरे मिलते हैं, लेकिन हर विकर्ण दो बार गिना जाता है (हर सिरे से एक बार), इसलिए इसे 2 से भाग देते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
पंचभुज (pentagon) के लिए, \(n = 5\)। तब $$D = \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$$। यानी पंचभुज में 5 विकर्ण होते हैं। षट्भुज (hexagon) के लिए, \(n = 6\): $$D = \frac{6 \times 3}{2} = 9$$ विकर्ण। वर्ग (square) के लिए, \(n = 4\): $$D = \frac{4 \times 1}{2} = 2$$ विकर्ण (आपस में काटती हुई दो रेखाएँ)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह हर बहुभुज पर काम करता है? हाँ — यह उत्तल (convex) और अवतल (concave) दोनों तरह के बहुभुजों पर काम करता है, क्योंकि विकर्णों की संख्या सिर्फ़ शीर्षों की संख्या पर निर्भर करती है, उनकी स्थिति पर नहीं।
त्रिभुज में कोई विकर्ण क्यों नहीं होता? त्रिभुज के तीनों शीर्ष आपस में सटे हुए होते हैं, इसलिए जोड़ने के लिए कोई बिना-सटा हुआ जोड़ा बचता ही नहीं। फॉर्मूला भी यही पुष्टि करता है: $$\frac{3 \times (3 - 3)}{2} = 0$$।
100 भुजाओं वाले बहुभुज में कितने विकर्ण होते हैं? $$D = \frac{100 \times 97}{2} = 4{,}850$$ विकर्ण।
