Qu'est-ce qu'une diagonale de polygone ?
La diagonale d'un polygone est un segment de droite qui relie deux sommets non adjacents (deux coins non voisins). Les côtés du polygone ne sont pas des diagonales, car ils relient des sommets voisins. Ce calculateur vous indique précisément le nombre de diagonales de n'importe quel polygone, du triangle jusqu'à une figure à mille côtés, grâce à la formule combinatoire classique.
Comment utiliser le calculateur
Indiquez le nombre de côtés n de votre polygone (qui correspond au nombre de sommets) et le calculateur affiche le nombre total de diagonales. Le nombre de côtés doit être supérieur ou égal à 3, car le triangle est le plus petit polygone possible. À noter : un triangle ne possède aucune diagonale, puisque tous ses sommets sont adjacents.
La formule expliquée
La formule est $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$. Chacun des n sommets peut être relié à \(n - 3\) autres pour former une diagonale : on retire le sommet lui-même ainsi que ses deux sommets voisins. On obtient ainsi \(n(n - 3)\) extrémités, mais chaque diagonale est comptée deux fois (une fois depuis chaque extrémité) : il faut donc diviser par 2.
Exemple concret
Pour un pentagone, \(n = 5\). On a alors $$D = \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5.$$ Un pentagone possède donc 5 diagonales. Pour un hexagone, \(n = 6\) : \(D = \frac{6 \times 3}{2} = 9\) diagonales. Pour un carré, \(n = 4\) : \(D = \frac{4 \times 1}{2} = 2\) diagonales (les deux lignes qui se croisent).
Questions fréquentes
Cette formule fonctionne-t-elle pour tous les polygones ? Oui — elle s'applique aussi bien aux polygones convexes qu'aux polygones concaves, car le nombre de diagonales ne dépend que du nombre de sommets, et non de leur position.
Pourquoi un triangle n'a-t-il aucune diagonale ? Les trois sommets d'un triangle sont tous adjacents les uns aux autres : il n'existe donc aucune paire de sommets non voisins à relier. La formule le confirme : \(\frac{3 \times (3 - 3)}{2} = 0\).
Combien de diagonales possède un polygone à 100 côtés ? \(D = \frac{100 \times 97}{2} = 4\,850\) diagonales.
