¿Qué es una diagonal de un polígono?
Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices (esquinas) no consecutivos. Los lados del polígono no son diagonales, porque conectan vértices contiguos. Esta calculadora te indica con exactitud cuántas diagonales tiene cualquier polígono, desde un triángulo hasta una figura de mil lados, aplicando la fórmula combinatoria habitual.
Cómo usar la calculadora
Introduce el número de lados n de tu polígono (que coincide con el número de vértices) y la calculadora te devolverá el total de diagonales. El número de lados debe ser 3 o mayor, ya que el triángulo es el polígono más pequeño. Ten en cuenta que un triángulo tiene cero diagonales: todos sus vértices son contiguos entre sí.
La fórmula explicada
La fórmula es $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$ Cada uno de los n vértices puede unirse a otros \(n - 3\) para formar una diagonal: se descuenta el propio vértice y sus dos vecinos. Eso da \(n(n - 3)\) extremos, pero cada diagonal se cuenta dos veces (una por cada extremo), de modo que se divide entre 2.
Ejemplo resuelto
Para un pentágono, \(n = 5\). Entonces $$D = \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$$ Por tanto, un pentágono tiene 5 diagonales. Para un hexágono, \(n = 6\): $$D = \frac{6 \times 3}{2} = 9 \text{ diagonales}$$ Para un cuadrado, \(n = 4\): $$D = \frac{4 \times 1}{2} = 2 \text{ diagonales}$$ (las dos líneas que se cruzan).
Preguntas frecuentes
¿Funciona con cualquier polígono? Sí: sirve tanto para polígonos convexos como cóncavos, ya que el número de diagonales depende únicamente de la cantidad de vértices y no de su posición.
¿Por qué un triángulo no tiene diagonales? Los tres vértices de un triángulo son contiguos entre sí, por lo que no hay ningún par de vértices no consecutivos que conectar. La fórmula lo confirma: \(\frac{3 \times (3 - 3)}{2} = 0\).
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 100 lados? $$D = \frac{100 \times 97}{2} = 4850 \text{ diagonales}$$
