다각형 대각선 개수 계산기

결과

대각선 개수

diagonals in a 5-sided polygon

변의 수 (n)	5
한 꼭짓점에서 만들어지는 삼각형 수 (n − 2)	3

다각형의 대각선이란?

다각형의 대각선은 서로 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 잇는 선분을 말합니다. 다각형의 변은 이웃한 두 꼭짓점을 연결하기 때문에 대각선이 아닙니다. 이 계산기는 삼각형부터 변이 1,000개에 이르는 도형까지, 어떤 다각형이든 정확히 몇 개의 대각선을 갖는지 표준 조합 공식을 이용해 알려줍니다.

인접하지 않은 꼭짓점 사이에 다섯 개의 대각선을 모두 그린 오각형 — 오각형의 대각선은 인접하지 않은 꼭짓점을 잇고, 변은 인접한 꼭짓점을 잇습니다.

계산기 사용법

다각형의 변의 수 $n$(꼭짓점의 수와 같습니다)을 입력하면 대각선의 총 개수가 바로 나옵니다. 가장 작은 다각형이 삼각형이므로 변의 수는 반드시 3 이상이어야 합니다. 참고로 삼각형의 대각선은 0개인데, 세 꼭짓점이 모두 서로 이웃하기 때문입니다.

공식 풀이

공식은 다음과 같습니다.

$$D = \frac{\text{Sides }(n)\left(\text{Sides }(n) - 3\right)}{2}$$

n개의 꼭짓점 각각은 자기 자신과 양옆의 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 $n - 3$개의 꼭짓점과 연결해 대각선을 만들 수 있습니다. 이렇게 하면 $n(n - 3)$개의 끝점이 생기지만, 모든 대각선이 양쪽 끝에서 한 번씩 두 번 세어지므로 2로 나눠 줍니다.

육각형의 한 꼭짓점이 인접하지 않은 꼭짓점과 연결되어 n−3개의 대각선을 보여주는 그림 — 각 꼭짓점에서 n−3개의 대각선을 그을 수 있는데, 그 꼭짓점과 양옆 두 꼭짓점은 제외되기 때문입니다.

예제로 확인하기

오각형의 경우 $n = 5$이므로

$$D = \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$$

가 됩니다. 즉 오각형의 대각선은 5개입니다. 육각형은 $n = 6$이므로 $D = \frac{6 \times 3}{2} = 9$개의 대각선을 갖습니다. 정사각형은 $n = 4$이므로 $D = \frac{4 \times 1}{2} = 2$개의 대각선(서로 교차하는 두 선)을 갖습니다.