이 계산기로 무엇을 할 수 있나요?
이 도구는 현(chord)의 길이와 활꼴 높이(sagitta)만 알 때 원의 반지름을 구해 줍니다. 활꼴 높이란 현의 중점에서 호까지 수직으로 잰 높이를 말합니다. 단위만 일치하면 어떤 단위(mm, cm, 인치, 피트)에서도 동일하게 작동하는 범용 기하 도구이므로, 특정 국가나 제도에 얽매이지 않습니다.
사용 방법
먼저 호를 가로지르는 직선 거리, 즉 현(c)을 재고, 그 직선 위로 솟아오른 호의 높이, 즉 활꼴 높이(h)를 측정하세요. 두 값을 같은 단위로 입력한 뒤 계산 버튼을 누르면 됩니다. 그러면 이 호가 속한 전체 원의 반지름과 지름이 함께 출력됩니다.
공식 풀이
이 관계식은 반지름, 현의 절반, 그리고 중심에서 현까지의 거리가 이루는 직각삼각형에서 유도됩니다.
$$r = \frac{\text{Chord }(c)^{2}}{8 \cdot \text{Height }(h)} + \frac{\text{Height }(h)}{2}$$
여기서 \(c^{2}/(8h)\) 항은 현이 벌어진 정도를 반영하고, \(h/2\) 항은 호의 곡률을 보정합니다. \(h > 0\)이기만 하면 이 공식은 정확한 반지름을 계산해 줍니다. 지름은 곧바로 \(d = 2r\)로 구할 수 있습니다.
계산 예시
곡선 형태의 문 윗부분이 있다고 가정해 봅시다. 현이 12인치이고 가장 높은 곳이 2인치 솟아 있다면, $$r = 12^{2}/(8 \cdot 2) + 2/2 = 144/16 + 1 = 9 + 1 = 10\text{인치}$$가 됩니다. 따라서 지름은 20인치입니다. 즉, 컴퍼스를 반지름 10인치로 맞추면 똑같은 호를 그릴 수 있습니다.
자주 묻는 질문
활꼴 높이(sagitta)란 무엇인가요? 호의 높이를 뜻합니다. 현의 중점에서 잰, 현과 곡선 사이의 최대 수직 거리입니다.
왜 높이가 0보다 커야 하나요? \(h = 0\)이면 세 점이 한 직선 위에 놓여(직선) 유한한 원이 존재하지 않으며, 공식에서도 0으로 나누는 문제가 생기기 때문입니다.
어떤 단위든 사용할 수 있나요? 네. 현과 높이를 같은 단위로 입력하기만 하면, 반지름도 동일한 단위로 나옵니다.
