多角形の対角線とは？
多角形の対角線とは、隣り合っていない2つの頂点を結んだ線分のことです。隣り合う頂点どうしを結ぶ線は「辺」であり、対角線には含まれません。この計算ツールは、三角形から千角形まで、どんな多角形でも対角線が何本あるのかを、組み合わせの公式を使って正確に求めます。
計算ツールの使い方
多角形の辺の数 \(n\)（頂点の数と同じです）を入力すると、対角線の合計本数が表示されます。最小の多角形は三角形なので、辺の数は3以上でなければなりません。なお、三角形の対角線は0本です。すべての頂点が互いに隣り合っているためです。
公式の解説
公式は $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$ です。\(n\) 個ある頂点それぞれは、自分自身と両隣の2つの頂点を除いた \(n - 3\) 個の頂点と結んで対角線をつくれます。これで \(n(n - 3)\) 個の端点が得られますが、1本の対角線は両端から2回ずつ数えられているため、2で割ります。
計算例
五角形なら \(n = 5\) なので、$$D = \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5.$$ つまり五角形の対角線は5本です。六角形なら \(n = 6\) で、\(D = \frac{6 \times 3}{2} = 9\) 本。正方形なら \(n = 4\) で、\(D = \frac{4 \times 1}{2} = 2\) 本（交差する2本の線）になります。
よくある質問
どんな多角形でも使えますか？ はい。対角線の本数は頂点の位置ではなく頂点の数だけで決まるため、凸多角形でも凹多角形でも同じように計算できます。
なぜ三角形には対角線がないのですか？ 三角形の3つの頂点はすべて互いに隣り合っているため、結ぶべき「隣り合わない頂点の組」が存在しないからです。公式でも確認できます：\(\frac{3 \times (3 - 3)}{2} = 0\)。
100角形の対角線は何本ですか？ \(D = \frac{100 \times 97}{2} = 4{,}850\) 本です。
