Çokgen Köşegeni Nedir?
Bir çokgenin köşegeni, komşu olmayan iki köşeyi (köşe noktasını) birleştiren doğru parçasıdır. Çokgenin kenarları köşegen sayılmaz, çünkü kenarlar yan yana duran komşu köşeleri birleştirir. Bu hesaplayıcı, üçgenden bin kenarlı şekillere kadar herhangi bir çokgenin tam olarak kaç köşegeni olduğunu, standart kombinatorik formülü kullanarak söyler.
Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
Çokgeninizin kenar sayısı \(n\) değerini girin (bu, köşe sayısına eşittir) ve hesaplayıcı toplam köşegen sayısını versin. Üçgen en küçük çokgen olduğundan, kenar sayısı 3 veya daha büyük olmalıdır. Üçgenin hiç köşegeni olmadığını unutmayın — tüm köşeleri birbirine komşudur.
Formülün Açıklaması
Formül şudur: $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$ \(n\) köşenin her biri, köşegen oluşturmak için diğer \(n - 3\) köşeyle birleşebilir: köşenin kendisini ve iki komşu köşesini çıkarırsınız. Bu durumda \(n(n - 3)\) tane uç nokta elde edilir, ancak her köşegen iki kez sayılır (her iki ucundan birer kez), bu yüzden sonucu 2'ye bölersiniz.
Örnek Çözüm
Bir beşgen için \(n = 5\)'tir. Buna göre $$D = \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$$ olur. Yani bir beşgenin 5 köşegeni vardır. Altıgen için \(n = 6\): $$D = \frac{6 \times 3}{2} = 9$$ köşegen. Kare için \(n = 4\): $$D = \frac{4 \times 1}{2} = 2$$ köşegen (birbirini kesen iki çizgi).
Sıkça Sorulan Sorular
Bu her çokgen için geçerli mi? Evet — hem dışbükey hem de içbükey çokgenler için işe yarar, çünkü köşegen sayısı yalnızca köşe sayısına bağlıdır, köşelerin konumuna değil.
Üçgenin neden hiç köşegeni yoktur? Üçgenin üç köşesi de birbirine komşudur, dolayısıyla birleştirilecek komşu olmayan hiçbir köşe çifti yoktur. Formül de bunu doğrular: \(\frac{3 \times (3 - 3)}{2} = 0\).
100 kenarlı bir çokgenin kaç köşegeni vardır? $$D = \frac{100 \times 97}{2} = 4.850$$ köşegen.
