Düzgün çokgen nedir?
Düzgün çokgen, tüm kenarları eşit uzunlukta ve tüm iç açıları eşit olan kapalı bir şekildir. Üçgen, kare, beşgen, altıgen ve sekizgen en yaygın örneklerdir. Bu hesaplama aracı, üç veya daha fazla kenarı olan her düzgün çokgen için çalışır; alan, çevre, iç ve dış açılar, apotem (iç yarıçap) ve çevrel yarıçap değerlerini verir.
Nasıl kullanılır?
Kenar sayısı n (en az 3) ve bir kenarın uzunluğu s değerini istediğiniz birimde girin. Sonuçlar aynı birimi kullanır: uzunluklar girdiğiniz birimle ifade edilir, alan ise bu birimin karesi cinsinden verilir. Açılar her zaman derece cinsindendir.
Formüllerin açıklaması
Alan $$A = \tfrac{1}{4}\,\text{n}\cdot \text{s}^{2}\cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$ formülüyle bulunur; burada cot kotanjant, \(\pi/\text{n}\) ise çokgeni oluşturan n adet özdeş üçgenden birinin merkez açısının yarısıdır. Çevre ise basitçe \(P = \text{n}\cdot \text{s}\)'dir. Her bir iç açı \(\frac{(\text{n}-2)\cdot 180^{\circ}}{\text{n}}\)'ye, her bir dış açı da \(\frac{360^{\circ}}{\text{n}}\)'ye eşittir. Apotem (merkezden bir kenarın orta noktasına olan uzaklık) \(\frac{\text{s}}{2\,\tan\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\), çevrel yarıçap (merkezden bir köşeye olan uzaklık) ise \(\frac{\text{s}}{2\,\sin\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\) ile hesaplanır.
Örnek hesaplama
Kenar uzunluğu \(s = 10\) olan düzgün bir altıgen (\(n = 6\)) için çevre $$6 \times 10 = 60$$'tır. Alan $$\tfrac{1}{4} \times 6 \times 100 \times \cot(30^{\circ}) = 150 \times \sqrt{3} \approx 259{,}81$$ birim karedir. Her iç açı \(\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ}}{6} = 120^{\circ}\), her dış açı ise \(60^{\circ}\)'dir. Apotem \(\frac{10}{2\cdot\tan 30^{\circ}} \approx 8{,}66\) ve çevrel yarıçap tam olarak 10'dur.
Sıkça Sorulan Sorular
Üçgen veya kare için de çalışır mı? Evet. \(n = 3\) girdiğinizde eşkenar üçgen, \(n = 4\) girdiğinizde kare elde edersiniz.
Alan hangi birimle ifade edilir? Kenar uzunluğunu hangi birimde girdiyseniz, onun karesi cinsinden (örneğin cm → cm²).
n neden en az 3 olmalı? Bir çokgenin bir alanı çevreleyebilmesi için en az üç kenara ihtiyacı vardır; daha az kenar kapalı bir şekil oluşturmaz.
