समबहुभुज क्या होता है?
समबहुभुज (Regular Polygon) एक ऐसी बंद आकृति होती है जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की और सभी आंतरिक कोण बराबर होते हैं। समबाहु त्रिभुज, वर्ग, पंचभुज, षट्भुज और अष्टभुज इसके आम उदाहरण हैं। यह कैलकुलेटर तीन या उससे अधिक भुजाओं वाले किसी भी समबहुभुज पर काम करता है और उसका क्षेत्रफल, परिमाप, आंतरिक व बाह्य कोण, अंतःत्रिज्या (apothem) तथा परित्रिज्या (circumradius) बता देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
भुजाओं की संख्या n (3 या अधिक) और किसी एक भुजा की लंबाई s अपनी पसंद की किसी भी इकाई में दर्ज करें। परिणाम भी उसी इकाई में मिलेंगे: सभी लंबाइयाँ आपकी दी गई इकाई में और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में होगा। कोण हमेशा डिग्री में दिखाए जाते हैं।
सूत्रों की व्याख्या
क्षेत्रफल $$A = \frac{1}{4}\,\text{n}\cdot \text{s}^{2}\cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$ होता है, जहाँ cot का अर्थ कोटैंजेंट है और \(\pi/\text{n}\) उन n समान त्रिभुजों में से एक के केंद्रीय कोण का आधा है जिनसे यह बहुभुज बना होता है। परिमाप बस $$P = \text{n}\cdot \text{s}$$ है। हर आंतरिक कोण \(\frac{(\text{n}-2)\cdot 180^{\circ}}{\text{n}}\) के बराबर होता है, और हर बाह्य कोण \(\frac{360^{\circ}}{\text{n}}\) होता है। अंतःत्रिज्या (केंद्र से किसी भुजा के मध्यबिंदु तक की दूरी) \(\frac{\text{s}}{2\,\tan\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\) होती है, और परित्रिज्या (केंद्र से किसी शीर्ष तक की दूरी) \(\frac{\text{s}}{2\,\sin\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\) होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
एक समषट्भुज (n = 6) के लिए जिसकी भुजा की लंबाई s = 10 है: परिमाप \(6 \times 10 = 60\) होगा। क्षेत्रफल $$\frac{1}{4} \times 6 \times 100 \times \cot(30^{\circ}) = 150 \times \sqrt{3} \approx 259.81$$ वर्ग इकाई होगा। हर आंतरिक कोण \(\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ}}{6} = 120^{\circ}\) और हर बाह्य कोण \(60^{\circ}\) होगा। अंतःत्रिज्या \(\frac{10}{2\cdot\tan 30^{\circ}} \approx 8.66\) और परित्रिज्या ठीक 10 होगी।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह त्रिभुज या वर्ग के लिए भी काम करता है? हाँ। n = 3 रखने पर आपको समबाहु त्रिभुज मिलता है और n = 4 रखने पर वर्ग।
क्षेत्रफल किस इकाई में आता है? आप भुजा की लंबाई जिस भी इकाई में डालते हैं, उसी के वर्ग में (जैसे cm → cm²)।
n कम से कम 3 क्यों होना चाहिए? किसी क्षेत्र को घेरने के लिए बहुभुज में कम से कम तीन भुजाएँ ज़रूरी हैं; इससे कम भुजाओं से कोई बंद आकृति नहीं बनती।
