समबहुभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर क्या है?
समबहुभुज (regular polygon) एक ऐसी बंद आकृति होती है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की और सभी अंतःकोण समान होते हैं — जैसे समबाहु त्रिभुज, वर्ग, समपंचभुज या षट्भुज। यह कैलकुलेटर सिर्फ़ दो संख्याओं से ऐसी किसी भी आकृति का घिरा हुआ क्षेत्रफल निकाल देता है: उसमें कितनी भुजाएँ हैं और हर भुजा कितनी लंबी है। इसके साथ-साथ यह एपोथेम, परिमाप और अंतःकोण भी बता देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
भुजाओं की संख्या (n) भरें, जो 3 या उससे अधिक होनी चाहिए, और एक भुजा की लंबाई (s) किसी भी इकाई में दर्ज करें। परिणाम उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा। उदाहरण के लिए, अगर आपकी भुजा की लंबाई सेंटीमीटर में है, तो क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में आएगा।
सूत्र की व्याख्या
n भुजाओं और भुजा की लंबाई s वाले समबहुभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$$A = \frac{1}{4} \, \text{n} \cdot \text{s}^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$
इस बहुभुज को केंद्र पर मिलने वाले n समान समद्विबाहु त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है। हर त्रिभुज का आधार s होता है और ऊँचाई एपोथेम के बराबर होती है, यानी \(a = s / (2 \cdot \tan(\pi/n))\)। इन सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफल को जोड़ने पर ऊपर दिया गया सूत्र मिलता है। जैसे-जैसे भुजाएँ बढ़ती हैं, cotangent वाला पद बढ़ता जाता है, इसलिए एक तय भुजा-लंबाई पर अधिक भुजाओं का मतलब है अधिक क्षेत्रफल।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए एक समषट्भुज (n = 6) है जिसकी भुजा की लंबाई 10 है। तब \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1.7320508\) होता है। क्षेत्रफल होगा $$A = 0.25 \times 6 \times 100 \times 1.7320508 \approx 259.81 \text{ वर्ग इकाई}$$ एपोथेम \(10 / (2 \cdot \tan 30°) \approx 8.66\) है, परिमाप 60 है, और हर अंतःकोण 120° होता है।
परिभाषाएं और शब्दावली
- नियमित बहुभुज
- एक बंद समतल आकृति जिसकी सभी भुजाएँ लंबाई में समान हों और सभी आंतरिक कोण समान हों। उदाहरणों में समबाहु त्रिभुज, वर्ग और नियमित षट्भुज शामिल हैं।
- भुजा की लंबाई (\(s\))
- बहुभुज के प्रत्येक किनारे की सामान्य लंबाई। क्षेत्रफल सूत्र में यह वर्ग के रूप में प्रकट होता है, इसलिए भुजा की लंबाई को दोगुना करने से क्षेत्रफल चौगुना हो जाता है।
- भुजाओं की संख्या (\(n\))
- बहुभुज के किनारों (समान रूप से, शीर्षों) की गणना। यह कम से कम 3 का एक पूर्णांक होना चाहिए।
- अन्तःत्रिज्या (\(a\))
- बहुभुज के केंद्र से किसी भी भुजा के मध्यबिंदु तक की लंबवत दूरी। यह खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के बराबर है और \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\) द्वारा दी जाती है। क्षेत्रफल को \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
- परिमाप (\(P\))
- बहुभुज के चारों ओर की कुल दूरी, एक नियमित बहुभुज के लिए \(P = n\,s\)।
- आंतरिक कोण
- बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो आसन्न भुजाओं के बीच बनने वाला कोण, जो \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\) के बराबर है। एक नियमित बहुभुज में सभी आंतरिक कोण समान होते हैं।
- केंद्रीय कोण
- बहुभुज के केंद्र पर एक भुजा द्वारा अंतरित कोण, जो \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\) (या \(2\pi/n\) रेडियन) के बराबर है। प्रत्येक भुजा एक केंद्रीय कोण को दर्शाती है, और \(n\) केंद्रीय कोण मिलकर एक पूर्ण चक्कर बनाते हैं।
- कोटिजीवा (\(\cot\))
- एक त्रिकोणमितीय फलन, \(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\)। सूत्र \(\cot(\pi/n)\) में एक त्रिकोणीय भाग के आधे-केंद्रीय-कोण को उस अनुपात में परिवर्तित करता है जो बहुभुज की ऊंचाई को इसकी भुजा के सापेक्ष निर्धारित करता है, जिससे अन्तःत्रिज्या और क्षेत्रफल प्राप्त होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह त्रिभुज और वर्ग के लिए भी काम करता है? हाँ। 3 भुजाओं वाला बहुभुज समबाहु त्रिभुज है और 4 भुजाओं वाला बहुभुज वर्ग है — यह सूत्र दोनों के लिए काम करता है।
क्षेत्रफल किस इकाई में आता है? आपने भुजा की लंबाई जिस इकाई में दी, उसी के वर्ग में। यह कैलकुलेटर किसी भी इकाई के साथ काम करता है।
क्या मैं इसे अनियमित आकृतियों के लिए इस्तेमाल कर सकता हूँ? नहीं। यह सूत्र तभी लागू होता है जब हर भुजा और कोण समान हो। अनियमित बहुभुजों के लिए कोई और तरीका चाहिए, जैसे shoelace (फीते वाला) सूत्र।
