अनियमित बहुभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

शीर्ष निर्देशांक (हर पंक्ति में x,y, क्रम से) 0,0 4,0 4,3 0,3 Enter each vertex on its own line as x,y — list them in order (clockwise or counter-clockwise) around the polygon.

परिणाम

बहुभुज का क्षेत्रफल

12

वर्ग इकाई

शीर्षों की संख्या	4
परिमाप	14 units

अनियमित बहुभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल किसी भी सरल (आपस में न कटने वाले) बहुभुज का क्षेत्रफल — चाहे वह नियमित हो या अनियमित — सीधे उसके कोनों के निर्देशांकों से निकालता है। इसमें शूलेस फ़ॉर्मूला (जिसे सर्वेक्षक का सूत्र या गॉस का क्षेत्रफल सूत्र भी कहते हैं) का उपयोग होता है। यह एक तेज़ और बिल्कुल सटीक तरीका है, जो त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज और तीन या अधिक शीर्षों वाले किसी भी बहुभुज पर काम करता है। साथ ही यह आपके दर्ज किए गए शीर्षों की परिमाप और संख्या भी बताता है।

इसका उपयोग कैसे करें

हर कोने का (x, y) निर्देशांक एक-एक करके अलग पंक्ति में x,y के रूप में लिखें। बहुभुज के चारों ओर क्रम से चलें — चाहे घड़ी की दिशा में या उसके विपरीत — ताकि लगातार आने वाली पंक्तियाँ आपस में जुड़े हुए शीर्ष हों। आपको अंत में पहला बिंदु दोबारा लिखने की ज़रूरत नहीं है; कैलकुलेटर अपने आप लूप बंद कर देता है। 'गणना करें' दबाएँ और घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में पाएँ।

फ़ॉर्मूला की व्याख्या

शूलेस फ़ॉर्मूला हर शीर्ष के x को अगले शीर्ष के y से गुणा करता है, उल्टे क्रॉस-गुणनफल को घटाता है, सभी किनारों पर इसका योग करता है, फिर निरपेक्ष मान लेकर उसे आधा कर देता है: $$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\, y_{i+1} - x_{i+1}\, y_i \right) \right| \qquad \left( x_i, y_i \right) \in \text{Vertex Coordinates}$$ इसका नाम गुणन के उस आड़े-तिरछे पैटर्न से पड़ा है, जो जूते के फीते बाँधने जैसा दिखता है। निरपेक्ष मान लेने का मतलब है कि आप चाहे किसी भी दिशा में चलें, उत्तर सही ही रहेगा।

शूलेस सूत्र पड़ोसी शीर्षों के x और y निर्देशांकों को आड़ा-तिरछा गुणा करता है।

बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष उसके (x, y) निर्देशांकों से परिभाषित होता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए एक आयत है जिसके कोने (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) हैं। क्रॉस-गुणनफल इस तरह आते हैं: \(0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0\), \(4\cdot 3 - 4\cdot 0 = 12\), \(4\cdot 3 - 0\cdot 3 = 12\), \(0\cdot 0 - 0\cdot 3 = 0\)। योग \(= 24\), इसलिए $$A = \frac{1}{2}\cdot|24| = 12 \text{ वर्ग इकाई}$$ — जो ठीक आधार \(\times\) ऊँचाई \(= 4 \times 3\) के बराबर है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या शीर्षों का क्रम में होना ज़रूरी है? हाँ। फ़ॉर्मूला यह मानकर चलता है कि लगातार आने वाले बिंदु बहुभुज के किनारे बनाते हैं। बेतरतीब बिंदु एक आपस में कटने वाली आकृति और ग़लत क्षेत्रफल देंगे।

क्या दिशा से फ़र्क पड़ता है? नहीं। घड़ी की दिशा में चलने पर कच्चा योग ऋणात्मक आता है और विपरीत दिशा में धनात्मक, लेकिन निरपेक्ष मान लेने से दोनों ही स्थितियों में क्षेत्रफल एक समान रहता है।

अवतल (concave) बहुभुजों का क्या? शूलेस फ़ॉर्मूला अवतल (non-convex) बहुभुजों को भी बिल्कुल सही ढंग से संभालता है, बशर्ते किनारे आपस में न कटें।