不規則多角形の面積計算ツールとは？
このツールは、各頂点の座標を入力するだけで、正多角形・不規則多角形を問わず、自己交差しない単純多角形の面積を求めます。計算には靴ひも公式（シューレース公式）を使用します。測量士の公式やガウスの面積公式とも呼ばれ、三角形・四角形・五角形をはじめ、頂点が3つ以上のあらゆる多角形に対応する、高速かつ厳密な手法です。さらに、周長と入力した頂点の数も合わせて表示します。
使い方
各頂点の(x, y)座標を1行に1組ずつ、x,yの形式で入力します。多角形の輪郭をたどるように、時計回りまたは反時計回りのどちらかの順序で入力してください。連続する行が隣り合う頂点になるようにするのがポイントです。最後に最初の点を繰り返す必要はありません。ツールが自動的に図形を閉じてくれます。「計算」を押すと、囲まれた領域の面積が平方単位で表示されます。
公式の解説
靴ひも公式では、各頂点のxに次の頂点のyを掛け、そこから逆向きの外積を引き、すべての辺について合計します。その絶対値を取り、2で割ると面積が求まります： $$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\, y_{i+1} - x_{i+1}\, y_i \right) \right| \qquad \left( x_i, y_i \right) \in \text{Vertex Coordinates}$$。名前の由来は、掛け算がたすき掛けのように交差する様子が、靴ひもを通す形に似ていることから来ています。絶対値を取るため、頂点をどちらの向きにたどっても正しい答えが得られます。
計算例
頂点が(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)の長方形を考えてみましょう。各辺の外積は、\(0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0\)、\(4\cdot 3 - 4\cdot 0 = 12\)、\(4\cdot 3 - 0\cdot 3 = 12\)、\(0\cdot 0 - 0\cdot 3 = 0\) となります。合計は24なので、$$A = \frac{1}{2}\cdot|24| = 12\ \text{平方単位}$$ これは底辺 × 高さ = \(4 \times 3\) とぴったり一致します。
よくある質問
頂点は順番どおりに入力する必要がありますか？ はい、必要です。この公式は、連続する点が多角形の辺を構成することを前提としています。順序がばらばらだと自己交差した図形になり、面積が正しく計算されません。
入力の向きは関係ありますか？ いいえ。時計回りだと合計値はマイナス、反時計回りだとプラスになりますが、絶対値を取るためどちらでも面積は同じになります。
凹多角形にも対応していますか？ はい。辺どうしが交差していない限り、靴ひも公式は凹（非凸）多角形も正確に計算できます。
