ما هي حاسبة مساحة المضلع غير المنتظم؟
تحسب هذه الأداة مساحة أي مضلع بسيط (غير متقاطع مع نفسه) — منتظمًا كان أم غير منتظم — مباشرةً من إحداثيات زواياه. وتعتمد على صيغة رباط الحذاء (المعروفة أيضًا بصيغة المساحِين أو صيغة غاوس للمساحة)، وهي طريقة سريعة ودقيقة تصلح للمثلثات والأشكال الرباعية والخماسية وأي مضلع له ثلاثة رؤوس أو أكثر. كما تعرض لك المحيط وعدد الرؤوس التي أدخلتها.
كيفية الاستخدام
اكتب إحداثيات (x، y) لكل زاوية في سطر مستقل بالصيغة x,y. تنقّل حول المضلع بالترتيب — في اتجاه عقارب الساعة أو عكسها — بحيث تكون الأسطر المتتالية رؤوسًا متجاورة. لا حاجة لتكرار النقطة الأولى في النهاية، فالحاسبة تُغلق الحلقة تلقائيًا. ثم اضغط على زر الحساب لتحصل على المساحة المحصورة بالوحدات المربعة.
شرح الصيغة
تقوم صيغة رباط الحذاء بضرب إحداثي x لكل رأس في إحداثي y للرأس التالي، ثم تطرح حاصل الضرب المتقاطع العكسي، وتجمع النتائج على جميع الأضلاع، وتأخذ القيمة المطلقة، ثم تقسمها على اثنين: $$A = \frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\, y_{i+1} - x_{i+1}\, y_i \right) \right| \qquad \left( x_i, y_i \right) \in \text{Vertex Coordinates}$$ وقد جاء الاسم من نمط الضرب المتقاطع المتشابك الذي يشبه ربط الحذاء. وبفضل القيمة المطلقة تكون النتيجة صحيحة بغض النظر عن اتجاه الدوران.
مثال محلول
لنأخذ مستطيلًا رؤوسه (0,0) و(4,0) و(4,3) و(0,3). تعطي حواصل الضرب المتقاطع: \(0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0\)، و\(4\cdot 3 - 4\cdot 0 = 12\)، و\(4\cdot 3 - 0\cdot 3 = 12\)، و\(0\cdot 0 - 0\cdot 3 = 0\). مجموعها \(= 24\)، إذن $$A = \frac{1}{2}\cdot |24| = 12 \text{ وحدة مربعة}$$ — وهي تساوي تمامًا القاعدة × الارتفاع \(= 4 \times 3\).
الأسئلة الشائعة
هل يجب ترتيب الرؤوس؟ نعم. تفترض الصيغة أن النقاط المتتالية تشكّل أضلاع المضلع. أما النقاط غير المرتبة فتنتج شكلًا متقاطعًا مع نفسه ومساحة خاطئة.
هل يهمّ الاتجاه؟ لا. اتجاه عقارب الساعة يعطي مجموعًا خامًا سالبًا، وعكسها يعطي موجبًا، لكن القيمة المطلقة تجعل المساحة واحدة في الحالتين.
وماذا عن المضلعات المقعّرة؟ تتعامل صيغة رباط الحذاء مع المضلعات المقعّرة (غير المحدّبة) بدقة تامة، طالما أن الأضلاع لا تتقاطع فيما بينها.
