ما هو الكسر العشري المنتهي؟
الكسر العشري المنتهي هو عدد عشري يحتوي على عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة العشرية — مثل 0.75 أو 0.125. أما الكسر العشري الدوري (غير المنتهي) فيستمر إلى ما لا نهاية بتكرار مجموعة من الأرقام، كما في 0.3333… أو 0.142857142857…. تأخذ هذه الحاسبة أي كسر a/b، وتحسب قيمته العشرية، وتخبرك هل هذا العدد العشري ينتهي أم يتكرر.
طريقة الاستخدام
أدخل البسط (الرقم العلوي a) والمقام (الرقم السفلي b). تقوم الأداة باختزال الكسر إلى أبسط صورة، ثم تحسب قيمته العشرية، وتبيّن لك ما إذا كان منتهيًا. لاحظ أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا.
شرح القاعدة
ابدأ باختزال الكسر إلى أبسط صورة بقسمة كلٍّ من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCD). بعد ذلك انظر إلى المقام الجديد فقط. الكسر في أبسط صورة يعطي عددًا عشريًا منتهيًا إذا وفقط إذا كانت العوامل الأولية الوحيدة لمقامه هي 2 و5. أي يجب أن يكون من الممكن كتابة المقام على الصورة \(2^{m}\times 5^{n}\). وجود أي عامل أولي آخر (3 أو 7 أو 11 …) يجعل العدد العشري دوريًا حتمًا.
$$\frac{\text{Numerator }a}{\text{Denominator }b} \text{ terminates} \iff \frac{b}{\gcd(a,b)} = 2^{m}\cdot 5^{n}$$
مثال محلول
لنأخذ الكسر 3/8. القاسم المشترك الأكبر للعددين 3 و8 هو 1، فالكسر مختزَل أصلًا. المقام \(8 = 2^{3}\) يحتوي على العامل الأولي 2 فقط، لذا فإن 3/8 ينتهي: \(3 \div 8 = 0.375\). وفي المقابل، الكسر 1/6 يبقى 1/6؛ وبما أن \(6 = 2 \times 3\) يحتوي على العامل الأولي 3، فإنه لا ينتهي — إذ يساوي 0.1666….
الأسئلة الشائعة
هل يؤثر البسط على كون الكسر منتهيًا؟ لا. ما يهم فقط هو العوامل الأولية للمقام بعد الاختزال، مع أن البسط قد يغيّر القاسم المشترك الأكبر وبالتالي المقام المختزل.
هل كل كسر إما منتهٍ وإما دوري؟ نعم. كل عدد نسبي له تمثيل عشري إما أن ينتهي وإما أن يصبح دوريًا في النهاية.
وماذا عن 10/4؟ يُختزل إلى 5/2؛ والمقام 2 يحتوي على العامل 2 فقط، لذا فإنه ينتهي: 2.5.
