Что такое конечная десятичная дробь?
Конечная десятичная дробь — это число, у которого после запятой стоит конечное количество цифр, например 0,75 или 0,125. А вот периодическая (бесконечная) дробь тянется бесконечно с повторяющимся блоком цифр — скажем, 0,3333… или 0,142857142857…. Этот калькулятор берёт любую дробь a/b, вычисляет её десятичное значение и подсказывает, будет эта дробь конечной или периодической.
Как пользоваться
Введите числитель (верхнее число, a) и знаменатель (нижнее число, b). Инструмент сократит дробь до несократимого вида, вычислит десятичное значение и покажет, конечна ли дробь. Знаменатель не может быть равен нулю.
Правило простыми словами
Сначала сократите дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Затем смотрите только на новый знаменатель. Несократимая дробь даёт конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда среди простых множителей знаменателя есть лишь 2 и 5. Иными словами, знаменатель должен представляться в виде \(2^{m}\times 5^{n}\). Любой другой простой множитель (3, 7, 11, …) делает дробь периодической.
$$\frac{\text{Числитель }a}{\text{Знаменатель }b} \text{ конечна} \iff \frac{b}{\gcd(a,b)} = 2^{m}\cdot 5^{n}$$
Разбор примера
Возьмём 3/8. НОД чисел 3 и 8 равен 1, значит дробь уже несократима. Знаменатель \(8 = 2^{3}\) содержит только простой множитель 2, поэтому 3/8 — конечная дробь: \(3 \div 8 = 0{,}375\). Для сравнения возьмём 1/6: она не сокращается, а так как \(6 = 2 \times 3\) содержит простой множитель 3, дробь не конечна — она равна 0,1666….
Частые вопросы
Влияет ли числитель на то, конечна ли дробь? Нет. Важны только простые множители сокращённого знаменателя, хотя числитель может изменить НОД, а значит и сам сокращённый знаменатель.
Любая ли дробь либо конечна, либо периодична? Да. У любого рационального числа десятичная запись либо обрывается, либо рано или поздно становится периодической.
А как насчёт 10/4? Эта дробь сокращается до 5/2; знаменатель 2 содержит только множитель 2, поэтому дробь конечна: 2,5.
