Số thập phân hữu hạn là gì?
Số thập phân hữu hạn là số thập phân có số chữ số sau dấu phẩy là hữu hạn — chẳng hạn 0,75 hoặc 0,125. Ngược lại, số thập phân vô hạn tuần hoàn kéo dài mãi với một nhóm chữ số lặp đi lособь lặp lại, ví dụ 0,3333… hoặc 0,142857142857…. Công cụ này nhận vào bất kỳ phân số a/b nào, tính ra giá trị thập phân và cho bạn biết số đó là hữu hạn hay tuần hoàn.
Cách sử dụng
Bạn hãy nhập tử số (số ở trên, a) và mẫu số (số ở dưới, b). Công cụ sẽ rút gọn phân số về dạng tối giản, tính giá trị thập phân và cho biết phân số đó có kết thúc hay không. Lưu ý: mẫu số không được bằng 0.
Giải thích quy tắc
Trước tiên, hãy rút gọn phân số về dạng tối giản bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng. Sau đó chỉ cần xét mẫu số mới. Một phân số tối giản sẽ cho ra số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi mẫu số của nó chỉ có các thừa số nguyên tố là 2 và 5. Nói cách khác, mẫu số phải viết được dưới dạng \(2^{m}\times 5^{n}\). Bất kỳ thừa số nguyên tố nào khác (3, 7, 11, …) đều khiến số thập phân trở thành vô hạn tuần hoàn.
$$\frac{\text{Tử số }a}{\text{Mẫu số }b} \text{ hữu hạn} \iff \frac{b}{\gcd(a,b)} = 2^{m}\cdot 5^{n}$$
Ví dụ minh họa
Xét phân số 3/8. ƯCLN của 3 và 8 là 1, nên phân số này đã ở dạng tối giản. Mẫu số \(8 = 2^{3}\) chỉ có thừa số nguyên tố là 2, vì vậy 3/8 hữu hạn: \(3 \div 8 = 0{,}375\). Trái lại, 1/6 đã tối giản; vì \(6 = 2 \times 3\) có chứa thừa số nguyên tố 3 nên phân số này không hữu hạn — nó bằng 0,1666….
Câu hỏi thường gặp
Tử số có ảnh hưởng đến việc phân số hữu hạn hay không? Không. Chỉ có các thừa số nguyên tố của mẫu số sau khi tối giản mới quan trọng, mặc dù tử số có thể làm thay đổi ƯCLN và do đó thay đổi mẫu số tối giản.
Có phải mọi phân số đều hoặc hữu hạn hoặc tuần hoàn? Đúng vậy. Mọi số hữu tỉ đều có khai triển thập phân hoặc kết thúc, hoặc cuối cùng sẽ lặp tuần hoàn.
Còn 10/4 thì sao? Phân số này rút gọn thành 5/2; mẫu số 2 chỉ có thừa số là 2 nên nó hữu hạn: 2,5.
