Что такое обратное хи-квадрат распределение?
Обратное хи-квадрат распределение с ν (ню) степенями свободы — это распределение величины \(Y = 1/X\), где \(X\) подчиняется стандартному хи-квадрат распределению с ν степенями свободы. Оно широко применяется в байесовской статистике как сопряжённое априорное распределение для дисперсии нормального закона, а также встречается в моделях надёжности и обработки сигналов. Этот калькулятор работает с чистой математикой, поэтому результаты одинаковы в любой стране и не зависят от региональных правил.
Как пользоваться калькулятором
Введите точку x (любое положительное вещественное число) и число степеней свободы ν (любое положительное значение; как правило, целое). Инструмент возвращает три величины: плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P = P(X \le x)\) и верхнюю кумулятивную вероятность \(Q = P(X > x)\). Поскольку \(P\) и \(Q\) описывают всё распределение целиком, в сумме они всегда дают 1.
Разбор формулы
Плотность задаётся выражением $$f(x) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\, x^{-\frac{\nu}{2}-1}\, e^{-\frac{1}{2x}}$$ при \(x > 0\). Для устойчивости вычислений мы считаем её в логарифмическом пространстве с помощью логарифма гамма-функции. Кумулятивные вероятности связаны с хи-квадрат распределением через обратную величину: при \(s = \nu/2\) и \(z = 1/(2x)\) нижняя кумулятивная вероятность равна регуляризованной верхней неполной гамма-функции \(Q(s, z)\), а верхняя кумулятивная вероятность — регуляризованной нижней неполной гамма-функции \(P(s, z)\). Их значения находятся разложением в ряд при малых \(z\) и методом непрерывных дробей (алгоритм Лентца) при больших \(z\).
Пример расчёта
Возьмём \(x = 1\) и \(\nu = 1\). Тогда \(s = 0{,}5\) и \(z = 0{,}5\). Плотность равна \(f(1) \approx 0{,}241971\). Нижняя кумулятивная вероятность составляет \(P \approx 0{,}317311\), а верхняя — \(Q \approx 0{,}682689\), что в сумме корректно даёт 1.
Частые вопросы
Почему x должно быть больше 0? Областью определения распределения является \(x > 0\). При \(x \le 0\) плотность равна 0; вся вероятностная масса лежит выше, поэтому нижняя вероятность равна 0, а верхняя — 1.
Обязательно ли ν должно быть целым? Нет. В формуле используется гамма-функция, поэтому подходит любое вещественное \(\nu > 0\), хотя число степеней свободы чаще всего выражается положительными целыми числами.
Это масштабированное обратное хи-квадрат распределение? Нет. Это стандартное (немасштабированное) обратное хи-квадрат распределение, соответствующее величине, обратной хи-квадрат переменной.
