Калькулятор проекции вектора

Введите расчет

a — x

a — y

a — z

b — x

b — y

b — z

Leave the z components blank for 2D vectors. This computes the projection of a onto b.

Результатов

Проекция a на b

(3, 0, 0)

proj_b(a)

Скалярный коэффициент (a·b)/(b·b)	3
Скалярное произведение a·b	3
Скалярное произведение b·b	1
Длина проекции	3

Что такое проекция вектора?

Проекция вектора a на вектор b — это «тень», которую вектор a отбрасывает на прямую, заданную вектором b. Результат сам является вектором, направленным в ту же сторону, что и b (или в противоположную). Он отвечает на вопрос: какая часть вектора a лежит вдоль направления b? Это базовая операция в физике (разложение сил), компьютерной графике, машинном обучении и линейной алгебре.

Проекция a на b — это тень a вдоль направления b.

Как пользоваться калькулятором

Введите координаты вектора a и вектора b. Для двумерных векторов просто оставьте поля z пустыми (по умолчанию они равны 0). Нажмите «Рассчитать» — и вы получите полный вектор проекции, скалярный коэффициент, оба скалярных произведения и длину проекции.

Разбор формулы

Проекция вычисляется так:

$$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}$$

Сначала найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \text{a}_x\text{b}_x + \text{a}_y\text{b}_y + \text{a}_z\text{b}_z\). Затем разделите его на \(\vec{b}\cdot\vec{b}\) (квадрат длины b), чтобы получить скалярный коэффициент. Наконец, умножьте этот коэффициент на каждую координату вектора b. Обратите внимание: вектор b не должен быть нулевым; если b — нулевой вектор, проекция не определена, и мы возвращаем ноль.

Реклама

Скалярный множитель \((\vec{a}\cdot\vec{b})/(\vec{b}\cdot\vec{b})\) масштабирует вектор b, давая вектор проекции.

Разбор примера

Пусть \(\vec{a} = (4,\, 1)\) и \(\vec{b} = (2,\, 3)\). Тогда $$\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot2 + 1\cdot3 = 11,$$ а $$\vec{b}\cdot\vec{b} = 2^2 + 3^2 = 13.$$ Скалярный коэффициент равен \(11/13 \approx 0{,}8462\). Вектор проекции: $$0{,}8462 \cdot (2,\, 3) = (1{,}6923,\, 2{,}5385),$$ а его длина — $$\sqrt{1{,}6923^2 + 2{,}5385^2} \approx 3{,}0509.$$

Частые вопросы

Чем отличается скалярная проекция от векторной? Скалярная проекция — это знаковая длина \((\vec{a}\cdot\vec{b})/|\vec{b}|\), то есть одно число. Векторная проекция (которую считает этот калькулятор) умножает это значение на единичный вектор b, давая в результате полноценный вектор.

Может ли проекция быть направлена противоположно b? Да. Если \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) отрицательно, скалярный коэффициент тоже отрицателен, и вектор проекции направлен в сторону, противоположную b.

Работает ли это в 3D? Да. Просто заполните координаты z для обоих векторов. Для двумерных задач оставьте их пустыми.