Vektör İzdüşümü Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

a — x

a — y

a — z

b — x

b — y

b — z

Leave the z components blank for 2D vectors. This computes the projection of a onto b.

Sonuç

a'nın b üzerine izdüşümü

(3, 0, 0)

proj_b(a)

Skaler katsayı (a·b)/(b·b)	3
Nokta çarpımı a·b	3
Nokta çarpımı b·b	1
İzdüşümün büyüklüğü	3

Vektör izdüşümü nedir?

a vektörünün b üzerine izdüşümü, a vektörünün b vektörünün belirlediği doğru üzerine düşürdüğü "gölge" olarak düşünülebilir. Sonuç da bir vektördür ve b ile aynı (ya da zıt) yönü gösterir. Aslında şu soruyu yanıtlar: a vektörünün ne kadarı b doğrultusunda uzanıyor? Bu işlem fizikte (kuvvetlerin bileşenlerine ayrılması), bilgisayar grafiklerinde, makine öğreniminde ve lineer cebirde temel bir araçtır.

a'nın b üzerine izdüşümü, a'nın b yönündeki gölgesidir.

Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?

a ve b vektörlerinin bileşenlerini girin. İki boyutlu vektörlerle çalışıyorsanız z alanlarını boş bırakmanız yeterli (varsayılan olarak 0 kabul edilir). Hesapla düğmesine bastığınızda izdüşüm vektörünün tamamını, skaler katsayıyı, her iki nokta çarpımını ve izdüşümün büyüklüğünü (uzunluğunu) görürsünüz.

Formülün açıklaması

İzdüşüm şu şekilde hesaplanır:

$$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}$$

Önce \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \text{a}_x\,\text{b}_x + \text{a}_y\,\text{b}_y + \text{a}_z\,\text{b}_z\) nokta çarpımını bulun. Ardından bunu \(\vec{b}\cdot\vec{b}\) değerine (yani b'nin uzunluğunun karesine) bölerek skaler katsayıyı elde edin. Son olarak bu katsayıyı b vektörünün her bileşeniyle çarparak vektörü ölçeklendirin. b vektörünün sıfırdan farklı olması gerektiğini unutmayın; eğer b sıfır vektörü ise izdüşüm tanımsızdır ve sonuç olarak sıfır döndürülür.

Reklam

Skaler çarpan (a·b)/(b·b), b vektörünü ölçekleyerek izdüşüm vektörünü verir.

Çözümlü örnek

\(\vec{a} = (4, 1)\) ve \(\vec{b} = (2, 3)\) olsun. Bu durumda $$\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot2 + 1\cdot3 = 11$$ ve $$\vec{b}\cdot\vec{b} = 2^2 + 3^2 = 13$$ olur. Skaler katsayı \(11/13 \approx 0{,}8462\) olarak bulunur. İzdüşüm vektörü $$0{,}8462 \cdot (2, 3) = (1{,}6923,\ 2{,}5385)$$ olup büyüklüğü \(\sqrt{1{,}6923^2 + 2{,}5385^2} \approx 3{,}0509\)'dur.

Sıkça sorulan sorular

Skaler izdüşüm ile vektörel izdüşüm arasındaki fark nedir? Skaler izdüşüm, işaretli bir uzunluk olan \((\vec{a}\cdot\vec{b})/|\vec{b}|\) değeridir; yani tek bir sayıdır. Vektörel izdüşüm (burada hesaplananı) ise bu değeri b'nin birim vektörüyle çarparak gerçek bir vektör verir.

İzdüşüm b'ye zıt yönde olabilir mi? Evet. Eğer a·b negatifse skaler katsayı da negatif olur ve izdüşüm vektörü b'nin tam ters yönünü gösterir.

Bu araç 3B'de çalışır mı? Evet. Her iki vektörün z bileşenlerini girmeniz yeterli. 2B problemlerde ise bu alanları boş bırakabilirsiniz.