वेक्टर प्रोजेक्शन क्या है?
b पर a का वेक्टर प्रोजेक्शन वह "परछाईं" है जो वेक्टर a वेक्टर b द्वारा बनी रेखा पर डालता है। इसका परिणाम स्वयं एक वेक्टर होता है, जो b की दिशा में (या उसके विपरीत) इशारा करता है। यह इस सवाल का जवाब देता है: a का कितना हिस्सा b की दिशा में है? यह भौतिकी (बलों का वियोजन), कंप्यूटर ग्राफिक्स, मशीन लर्निंग और रैखिक बीजगणित (लीनियर अलजेब्रा) में एक बुनियादी संक्रिया है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वेक्टर a और वेक्टर b के घटक (components) दर्ज करें। दो-आयामी (2D) वेक्टरों के लिए बस z वाले खाने खाली छोड़ दें (इनका डिफ़ॉल्ट मान 0 होता है)। कैलकुलेट पर क्लिक करें और आपको मिलेगा पूरा प्रोजेक्शन वेक्टर, स्केलर फैक्टर, दोनों डॉट प्रोडक्ट और प्रोजेक्शन का परिमाण (लंबाई)।
सूत्र की व्याख्या
प्रोजेक्शन इस प्रकार निकाला जाता है:
$$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}$$
सबसे पहले डॉट प्रोडक्ट निकालें \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \text{a}_x\text{b}_x + \text{a}_y\text{b}_y + \text{a}_z\text{b}_z\)। फिर इसे \(\vec{b}\cdot\vec{b}\) (यानी b की लंबाई का वर्ग) से भाग दें ताकि एक स्केलर फैक्टर मिल जाए। आख़िर में उस स्केलर को b के हर घटक से गुणा करके उसे स्केल करें। ध्यान दें कि b शून्य नहीं होना चाहिए; अगर b शून्य वेक्टर है तो प्रोजेक्शन अपरिभाषित होता है और हम शून्य लौटाते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = (4,\,1)\) और \(b = (2,\,3)\)। तब \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 2 + 1\cdot 3 = 11\), और \(\vec{b}\cdot\vec{b} = 2^2 + 3^2 = 13\)। स्केलर फैक्टर है \(11/13 \approx 0.8462\)। प्रोजेक्शन वेक्टर है $$0.8462 \cdot (2,\,3) = (1.6923,\,2.5385),$$ जिसका परिमाण \(\sqrt{1.6923^2 + 2.5385^2} \approx 3.0509\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
स्केलर प्रोजेक्शन और वेक्टर प्रोजेक्शन में क्या अंतर है? स्केलर प्रोजेक्शन एक चिह्न-सहित लंबाई \((\vec{a}\cdot\vec{b})/|\vec{b}|\) होती है, यानी सिर्फ़ एक संख्या। वेक्टर प्रोजेक्शन (जो यहाँ निकाला जाता है) उस दिशा को b के यूनिट वेक्टर से गुणा करता है, जिससे एक वास्तविक वेक्टर मिलता है।
क्या प्रोजेक्शन b के विपरीत दिशा में भी हो सकता है? हाँ — अगर a·b ऋणात्मक (negative) है, तो स्केलर फैक्टर भी ऋणात्मक होगा और प्रोजेक्शन वेक्टर b की विपरीत दिशा में इशारा करेगा।
क्या यह 3D में काम करता है? हाँ। बस दोनों वेक्टरों के लिए z घटक भर दें। 2D समस्याओं के लिए इन्हें खाली छोड़ दें।
