Qu'est-ce qu'un calculateur d'aire de polygone régulier ?
Un polygone régulier est une figure fermée dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles intérieurs sont égaux : pensez au triangle équilatéral, au carré, au pentagone régulier ou à l'hexagone. Ce calculateur détermine directement l'aire délimitée par ce type de figure à partir de deux valeurs : son nombre de côtés et la longueur de chacun d'eux. En prime, il vous donne aussi l'apothème, le périmètre et l'angle intérieur.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre de côtés (n), qui doit être supérieur ou égal à 3, ainsi que la longueur d'un côté (s) dans l'unité de votre choix. Le résultat s'exprime dans cette même unité, élevée au carré. Par exemple, si vous indiquez la longueur du côté en centimètres, l'aire sera exprimée en centimètres carrés.
La formule expliquée
L'aire d'un polygone régulier à n côtés, dont la longueur de côté vaut s, est donnée par :
$$A = \frac{1}{4} \, \text{n} \cdot \text{s}^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$
On peut découper le polygone en n triangles isocèles identiques se rejoignant au centre. Chaque triangle a pour base s et pour hauteur l'apothème \(a = s / (2 \cdot \tan(\pi/n))\). En additionnant l'aire de ces triangles, on obtient la formule ci-dessus. Le terme cotangente augmente avec le nombre de côtés : à longueur de côté fixe, plus le polygone a de côtés, plus son aire est grande.
Exemple concret
Prenons un hexagone régulier (n = 6) dont le côté mesure 10. On a alors \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508\). L'aire vaut $$A = 0{,}25 \times 6 \times 100 \times 1{,}7320508 \approx 259{,}81 \text{ unités carrées}.$$ L'apothème est égal à \(10 / (2 \cdot \tan 30°) \approx 8{,}66\), le périmètre vaut 60 et chaque angle intérieur mesure 120°.
Définitions et glossaire
- Polygone régulier
- Une figure plane fermée avec tous les côtés de longueur égale et tous les angles intérieurs égaux. Les exemples incluent le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier.
- Longueur du côté (\(s\))
- La longueur commune de chaque arête du polygone. Dans la formule d'aire, elle apparaît au carré, donc doubler le côté quadruple l'aire.
- Nombre de côtés (\(n\))
- Le nombre d'arêtes (ou de sommets) du polygone. Il doit être un entier d'au moins 3.
- Apothème (\(a\))
- La distance perpendiculaire du centre du polygone au milieu de n'importe quel côté. Elle est égale au rayon du cercle inscrit et est donnée par \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\). L'aire peut également s'écrire \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\).
- Périmètre (\(P\))
- La distance totale autour du polygone, \(P = n\,s\) pour un polygone régulier.
- Angle intérieur
- L'angle formé à l'intérieur du polygone à chaque sommet entre deux côtés adjacents, égal à \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\). Tous les angles intérieurs sont égaux dans un polygone régulier.
- Angle au centre
- L'angle sous-tendu au centre du polygone par un côté, égal à \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\) (ou \(2\pi/n\) radians). Chaque côté englobe un angle au centre, et les \(n\) angles au centre ensemble font un tour complet.
- Cotangente (\(\cot\))
- Une fonction trigonométrique, \(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\). Dans la formule \(\cot(\pi/n)\) convertit le demi-angle au centre d'une tranche triangulaire en le rapport qui détermine la hauteur du polygone par rapport à son côté, donnant l'apothème et l'aire.
FAQ
Cela fonctionne-t-il pour les triangles et les carrés ? Oui. Un polygone à 3 côtés est un triangle équilatéral et un polygone à 4 côtés est un carré : la formule s'applique aux deux.
Dans quelle unité l'aire est-elle exprimée ? Dans l'unité que vous avez utilisée pour la longueur du côté, élevée au carré. Le calculateur fonctionne quelle que soit l'unité choisie.
Puis-je l'utiliser pour des figures irrégulières ? Non. Cette formule ne vaut que lorsque tous les côtés et tous les angles sont égaux. Les polygones irréguliers exigent une autre méthode, comme la formule du lacet (ou formule de Gauss).
