¿Qué es una calculadora de área de polígonos regulares?
Un polígono regular es una figura cerrada en la que todos los lados miden lo mismo y todos los ángulos interiores son iguales: piensa en un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular o un hexágono. Esta calculadora obtiene directamente el área encerrada de cualquiera de estas figuras a partir de solo dos datos: cuántos lados tiene y cuánto mide cada lado. Como extra, también te muestra la apotema, el perímetro y el ángulo interior.
Cómo usarla
Introduce el número de lados (\(n\)), que debe ser 3 o más, y la longitud de uno de los lados (\(s\)) en la unidad que prefieras. El resultado se devuelve en esas mismas unidades, pero al cuadrado. Por ejemplo, si la longitud del lado está en centímetros, el área saldrá en centímetros cuadrados.
La fórmula explicada
El área de un polígono regular de \(n\) lados con longitud de lado \(s\) es:
$$A = \frac{1}{4} \, \text{n} \cdot \text{s}^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$
El polígono puede dividirse en \(n\) triángulos isósceles idénticos que se encuentran en el centro. Cada triángulo tiene base \(s\) y una altura igual a la apotema \(a = s / (2\cdot\tan(\pi/n))\). Al sumar las áreas de todos ellos se obtiene la fórmula anterior. El término de la cotangente crece a medida que el polígono gana lados, así que, para una misma longitud de lado, cuantos más lados tenga, mayor será el área.
Ejemplo resuelto
Tomemos un hexágono regular (\(n = 6\)) con un lado de 10. Entonces \(\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1{,}7320508\). El área es $$A = 0{,}25 \times 6 \times 100 \times 1{,}7320508 \approx 259{,}81 \text{ unidades cuadradas}.$$ La apotema es \(10 / (2\cdot\tan 30°) \approx 8{,}66\), el perímetro es 60 y cada ángulo interior mide 120°.
Definiciones y glosario
- Polígono regular
- Una figura plana cerrada con todos los lados de igual longitud y todos los ángulos interiores iguales. Los ejemplos incluyen el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
- Longitud del lado (\(s\))
- La longitud común de cada borde del polígono. En la fórmula del área aparece al cuadrado, por lo que duplicar el lado cuadruplica el área.
- Número de lados (\(n\))
- El conteo de bordes (equivalentemente, vértices) del polígono. Debe ser un entero de al menos 3.
- Apotema (\(a\))
- La distancia perpendicular desde el centro del polígono hasta el punto medio de cualquier lado. Es igual al radio del círculo inscrito y se calcula mediante \(a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)\). El área también puede escribirse como \(A = \tfrac{1}{2}\,a\,P\).
- Perímetro (\(P\))
- La distancia total alrededor del polígono, \(P = n\,s\) para un polígono regular.
- Ángulo interior
- El ángulo formado dentro del polígono en cada vértice entre dos lados adyacentes, igual a \(\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}\). Todos los ángulos interiores son iguales en un polígono regular.
- Ángulo central
- El ángulo subtendido en el centro del polígono por un lado, igual a \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\) (o \(2\pi/n\) radianes). Cada lado abarca un ángulo central, y los \(n\) ángulos centrales juntos forman un giro completo.
- Cotangente (\(\cot\))
- Una función trigonométrica, \(\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}\). En la fórmula \(\cot(\pi/n)\) convierte el medio ángulo central de una rebanada triangular en la razón que determina la altura del polígono en relación con su lado, lo que produce la apotema y el área.
Preguntas frecuentes
¿Sirve para triángulos y cuadrados? Sí. Un polígono de 3 lados es un triángulo equilátero y uno de 4 lados es un cuadrado: la fórmula funciona en ambos casos.
¿En qué unidades se expresa el área? En la misma unidad que usaste para el lado, pero al cuadrado. La calculadora no depende de ninguna unidad concreta.
¿Puedo usarla para figuras irregulares? No. Esta fórmula solo es válida cuando todos los lados y ángulos son iguales. Los polígonos irregulares requieren otro método, como la fórmula del cordón de zapato (shoelace).
