정다각형 넓이 계산기 (변·아포템 기준)

아포템	8.6603
둘레	60
내각	120°

정다각형 넓이 계산기란?

정다각형은 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 닫힌 도형입니다. 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형이 대표적인 예죠. 이 계산기는 단 두 가지 값, 즉 변이 몇 개인지와 한 변의 길이가 얼마인지만으로 정다각형의 넓이를 바로 구해 줍니다. 여기에 더해 아포템(중심에서 변까지의 수직 거리), 둘레, 내각까지 함께 알려 드립니다.

사용 방법

변의 개수($n$)를 입력하세요. 3 이상이어야 합니다. 그다음 한 변의 길이($s$)를 원하는 단위로 입력하면 됩니다. 결과는 입력한 단위의 제곱으로 나옵니다. 예를 들어 변의 길이를 센티미터(cm)로 입력하면 넓이는 제곱센티미터(cm²)로 표시됩니다.

공식 풀이

한 변의 길이가 $s$인 정n각형의 넓이는 다음과 같습니다.

$$A = \frac{1}{4} \, \text{n} \cdot \text{s}^{2} \cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$

정다각형은 중심에서 만나는 $n$개의 합동인 이등변삼각형으로 나눌 수 있습니다. 각 삼각형의 밑변은 $s$이고 높이는 아포템 $a = s / (2 \cdot \tan(\pi/n))$와 같습니다. 이 삼각형들의 넓이를 모두 더하면 위 공식이 됩니다. 코탄젠트 항은 변의 개수가 늘어날수록 커지므로, 한 변의 길이가 같다면 변이 많을수록 넓이도 커집니다.

변의 길이 s, 변심거리 a, 중심에서의 반지름 r을 보여주는 정육각형 — 정다각형의 주요 치수: 변의 길이 $s$와 변심거리 $a$.

계산 예시

한 변의 길이가 10인 정육각형($n = 6$)을 예로 들어 보겠습니다. $\cot(\pi/6) = \cot(30°) = \sqrt{3} \approx 1.7320508$입니다. 따라서 넓이는 $$A = 0.25 \times 6 \times 100 \times 1.7320508 \approx 259.81 \text{ 제곱 단위}$$가 됩니다. 아포템은 $10 / (2 \cdot \tan 30°) \approx 8.66$, 둘레는 60, 각 내각은 120°입니다.

중심에서 다섯 개의 합동인 삼각형으로 나뉜 정오각형 — 정다각형은 $n$개의 합동인 삼각형으로 분할되며, 이는 넓이 공식의 기초이다.

정의 및 용어집

정규다각형: 모든 변의 길이가 같고 모든 내각이 같은 폐곡선 도형입니다. 예시로는 정삼각형, 정사각형, 정육각형이 있습니다.
변의 길이 ($s$): 다각형의 각 모서리의 공통 길이입니다. 넓이 공식에서 제곱으로 나타나므로, 변의 길이를 두 배로 늘리면 넓이는 4배가 됩니다.
변의 개수 ($n$): 다각형의 모서리(또는 꼭짓점)의 개수입니다. 3 이상의 정수여야 합니다.
내접원의 반지름 ($a$): 다각형의 중심에서 임의의 변의 중점까지의 수직 거리입니다. 내접원의 반지름과 같으며, $a = \tfrac{s}{2}\cot(\pi/n)$으로 주어집니다. 넓이는 $A = \tfrac{1}{2}\,a\,P$로도 나타낼 수 있습니다.
둘레 ($P$): 다각형 주위의 전체 거리이며, 정규다각형의 경우 $P = n\,s$입니다.
내각: 다각형의 각 꼭짓점에서 인접한 두 변 사이에 형성되는 각이며, $\dfrac{(n-2)\,180^{\circ}}{n}$과 같습니다. 정규다각형에서는 모든 내각이 같습니다.
중심각: 다각형의 중심에서 한 변이 맺는 각이며, $\dfrac{360^{\circ}}{n}$(또는 $2\pi/n$ 라디안)과 같습니다. 각 변은 하나의 중심각을 차지하고, $n$개의 중심각들이 함께 완전한 회전을 이룹니다.
코탄젠트 ($\cot$): 삼각함수이며, $\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = \dfrac{1}{\tan(x)}$입니다. 공식 $\cot(\pi/n)$에서는 하나의 삼각형 조각의 반중심각을 다각형의 높이와 변의 길이의 비율로 변환하여 내접원의 반지름과 넓이를 구합니다.