정다각형이란?
정다각형은 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기도 같은 닫힌 도형을 말합니다. 대표적인 예로 정삼각형(변 3개), 정사각형(변 4개), 정오각형(5개), 정육각형(6개) 등이 있습니다. 모든 변과 각이 동일하기 때문에, 변의 개수 n과 한 변의 길이 s 단 두 가지 값만 알면 도형의 주요 수치를 모두 구할 수 있습니다.
계산기 사용 방법
변의 개수(3 이상의 정수)와 한 변의 길이를 입력하세요. 계산기가 곧바로 넓이, 둘레, 아포템(내접원 반지름, 즉 중심에서 한 변의 중점까지의 거리), 외접원 반지름(중심에서 꼭짓점까지의 거리), 그리고 내각과 외각을 함께 계산해 보여줍니다.
공식 풀이
넓이는 코탄젠트 함수를 사용합니다: $$A = \frac{1}{4}\,n\,s^2\,\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ 변의 개수가 늘어날수록 다각형은 점점 원에 가까워지는데, 코탄젠트 항이 바로 이 기하학적 성질을 반영합니다. 둘레는 간단히 $$P = n \times s$$로 구합니다. 아포템은 \(a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)}\), 외접원 반지름은 \(R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}\)입니다. 각 내각의 크기는 \(\frac{(n-2)\cdot 180}{n}\) 도입니다.
계산 예시
한 변의 길이 \(s = 10\)인 정육각형(\(n = 6\))을 살펴보겠습니다. 둘레는 \(6 \times 10 = 60\) 단위입니다. 넓이는 $$\frac{1}{4} \times 6 \times 10^2 \times \cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 150 \times 1.7320508 \approx 259.81$$ 제곱 단위입니다. 내각은 \(\frac{(6-2)\cdot 180}{6} = 120^\circ\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
변의 개수는 최소 몇 개여야 하나요? 다각형은 최소 3개의 변이 필요하므로, 이 계산기는 \(n \geq 3\) 조건을 요구합니다.
어떤 단위를 사용하나요? 이 계산기는 특정 단위에 구애받지 않습니다. 입력한 값과 동일한 단위로 결과가 나옵니다. 한 변의 길이를 cm로 입력하면 넓이는 cm²로 표시됩니다.
변이 아주 많은 다각형도 계산되나요? 물론입니다. n이 커질수록 넓이와 둘레는 해당 외접원 반지름을 가진 원의 값에 점점 수렴합니다.
