Düzgün Çokgen Nedir?
Düzgün çokgen, tüm kenarları eşit uzunlukta ve tüm iç açıları birbirine eşit olan kapalı bir şekildir. En bilinen örnekleri eşkenar üçgen (3 kenar), kare (4 kenar), beşgen (5), altıgen (6) ve benzeri çokgenlerdir. Her kenar ve açı birbirinin aynısı olduğu için tüm temel ölçüler yalnızca iki değerden hesaplanabilir: kenar sayısı \(n\) ve kenar uzunluğu \(s\).
Bu Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
Kenar sayısını (3 ve üzeri herhangi bir tam sayı) ve bir kenarın uzunluğunu girin. Araç; alanı, çevreyi, apotemi (iç yarıçap, yani merkezden bir kenarın ortasına olan uzaklık), çevrel yarıçapı (merkezden köşeye olan uzaklık) ve hem iç hem de dış açıyı anında hesaplar.
Formülün Açıklaması
Alan, kotanjant fonksiyonuyla bulunur: $$A = \tfrac{1}{4}\,n\,s^2\,\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ Kenar sayısı arttıkça çokgen bir daireye yaklaşır ve kotanjant terimi bu geometriyi yansıtır. Çevre ise basitçe $$P = n \times s$$ ile bulunur. Apotem \(a = \dfrac{s}{2\tan(\pi/n)}\), çevrel yarıçap ise \(R = \dfrac{s}{2\sin(\pi/n)}\) formülüyle hesaplanır. Her bir iç açı \(\dfrac{(n-2)\cdot 180}{n}\) derecedir.
Örnek Çözüm
Kenar uzunluğu \(s = 10\) olan düzgün bir altıgen (\(n = 6\)) için: çevre $$6 \times 10 = 60$$ birimdir. Alan $$\tfrac{1}{4} \times 6 \times 10^2 \times \cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 150 \times 1{,}7320508 \approx 259{,}81$$ birimkaredir. İç açı ise $$\frac{(6-2)\cdot 180}{6} = 120°$$ dir.
Sıkça Sorulan Sorular
En az kaç kenar olmalı? Bir çokgenin en az 3 kenarı olması gerekir; bu nedenle araç \(n \geq 3\) koşulunu arar.
Hangi birimleri kullanır? Araç birimden bağımsızdır; sonuç, girdiğiniz birimle aynıdır. Kenar uzunluğunu cm cinsinden girerseniz alan cm² olarak çıkar.
Çok fazla kenarı olan çokgenlerde de çalışır mı? Evet. \(n\) arttıkça alan ve çevre, ilgili çevrel yarıçapa sahip bir dairenin değerlerine yakınsar.
