ما هو المضلع المنتظم؟
المضلع المنتظم هو شكل هندسي مغلق تتساوى فيه جميع الأضلاع في الطول وتتساوى كذلك جميع زواياه الداخلية. ومن أشهر أمثلته المثلث والمربع والخماسي والسداسي والثماني. تعمل هذه الحاسبة مع أي مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع أو أكثر، فتُعيد لك مساحته ومحيطه وزواياه الداخلية والخارجية، إضافةً إلى طول العمود الساقط على الضلع (نصف قطر الدائرة الداخلية) ونصف قطر الدائرة المحيطة.
كيفية الاستخدام
أدخل عدد الأضلاع n (ثلاثة فأكثر) وطول أحد الأضلاع s بأي وحدة قياس تختارها. تأتي النتائج بالوحدة نفسها: فالأطوال تُعرض بوحدة الإدخال نفسها، والمساحة بمربع تلك الوحدة. أما الزوايا فتُقاس دائمًا بالدرجات.
شرح المعادلات
تُحسب المساحة بالعلاقة $$A = \frac{1}{4}\,\text{n}\cdot \text{s}^{2}\cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$ حيث cot هي دالة ظل التمام و \(\pi/\text{n}\) تمثّل نصف الزاوية المركزية لأحد المثلثات المتطابقة العددية n التي يتكوّن منها المضلع. أما المحيط فهو ببساطة $$P = \text{n}\cdot \text{s}$$ وتساوي كل زاوية داخلية \(\frac{(\text{n}-2)\cdot 180^{\circ}}{\text{n}}\)، بينما تساوي كل زاوية خارجية \(\frac{360^{\circ}}{\text{n}}\). وطول العمود الساقط على الضلع (المسافة من المركز إلى منتصف الضلع) يساوي \(\frac{\text{s}}{2\,\tan\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\)، أما نصف قطر الدائرة المحيطة (من المركز إلى أحد الرؤوس) فيساوي \(\frac{\text{s}}{2\,\sin\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\).
مثال محلول
لنأخذ مضلعًا سداسيًا منتظمًا (n = 6) طول ضلعه s = 10: يكون المحيط \(6 \times 10 = 60\). وتساوي المساحة $$\frac{1}{4} \times 6 \times 100 \times \cot(30^{\circ}) = 150 \times \sqrt{3} \approx 259.81$$ وحدة مربعة. وتساوي كل زاوية داخلية \(\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ}}{6} = 120^{\circ}\)، وكل زاوية خارجية \(60^{\circ}\). أما العمود الساقط على الضلع فيساوي \(\frac{10}{2\cdot\tan 30^{\circ}} \approx 8.66\)، ونصف قطر الدائرة المحيطة يساوي 10 بالضبط.
الأسئلة الشائعة
هل تعمل الحاسبة مع المثلث أو المربع؟ نعم. عند n = 3 تحصل على مثلث متساوي الأضلاع، وعند n = 4 على مربع.
بأي وحدة تُعرض المساحة؟ بمربع الوحدة التي أدخلت بها طول الضلع (مثلًا سم ← سم²).
لماذا يجب ألّا يقل عدد الأضلاع عن 3؟ لأن المضلع يحتاج إلى ثلاثة أضلاع على الأقل ليُحيط بمساحة؛ فأي عدد أقل لا يُكوّن شكلًا مغلقًا.
