ماذا تفعل هذه الحاسبة
تأخذ هذه الأداة طول ضلع مضلع منتظم وتحسب دائرته الداخلية المحاطة (الدائرة المُحاطة)، فتُرجع نصف القطر الداخلي، ومساحة الدائرة المحاطة، ومساحة المضلع. وبدلًا من نتيجة واحدة فقط، تبني جدولًا يمسح عدد الأضلاع \(n\) من قيمة بداية إلى قيمة نهاية، حتى تتمكن من مقارنة المثلث والمربع والخماسي والسداسي وما بعدها جنبًا إلى جنب. الرياضيات هنا هندسة خالصة وصالحة في كل مكان، باستخدام أي وحدة طول متسقة.
كيفية الاستخدام
أدخل طول الضلع \(a\) (أي عدد موجب)، ثم حدّد نطاق عدد الأضلاع: "عدد أضلاع المضلع المنتظم n (من)" و"عدد أضلاع المضلع المنتظم n (إلى)". وبما أن المضلع يحتاج إلى ثلاثة أضلاع على الأقل، فإن \(n\) يبدأ من 3. ينتج الجدول صفًا واحدًا لكل قيمة صحيحة من \(n\)، بحد أقصى 200 صف. وللحصول على نتيجة واحدة فقط، اجعل قيمة "من" و"إلى" متساويتين.
شرح المعادلة
تلامس الدائرة المحاطة (وتُسمى أيضًا الدائرة الداخلية) منتصف كل ضلع، ويساوي نصف قطرها العمود النازل من المركز (الأبوثيم). وبقياس الزوايا بالراديان ووجود \(n\) ضلعًا بطول \(a\)، يكون نصف القطر الداخلي هو $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ تأتي مساحة الدائرة المحاطة من معادلة الدائرة المعتادة $$S_c = \pi r^2$$ أما مساحة المضلع فتساوي نصف المحيط مضروبًا في الأبوثيم، وتُبسَّط إلى $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ وبما أن \(0 < \pi/n < \pi/2\) عند \(n \ge 3\)، فإن \(\tan(\pi/n)\) موجبة دائمًا، ومن ثم لا يوجد أي قسمة على صفر.
مثال محلول
لمضلع سداسي وحدوي، يكون \(a = 1\) و\(n = 6\). هنا \(\pi/6 = 0.5235988\) راديان و\(\tan(\pi/6) = 0.5773503\). نصف القطر الداخلي هو $$r = \frac{1}{2 \times 0.5773503} = 0.8660254$$ ومساحة الدائرة المحاطة هي $$S_c = \pi \times 0.8660254^2 = \pi \times 0.75 = 2.3561945$$ أما مساحة المضلع فهي $$S_p = \frac{6}{4 \times 0.5773503} = 2.5980762$$ وهي مطابقة لمساحة السداسي المعروفة \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الدائرة المحاطة والدائرة المحيطة؟ الدائرة المحاطة تقع في الداخل وتلامس كل ضلع عند منتصفه، بينما الدائرة المحيطة تمر عبر الرؤوس. تحسب هذه الأداة الدائرة المحاطة.
لماذا تزداد مساحة المضلع كلما زاد n؟ لأن طول الضلع \(a\) يبقى ثابتًا، فإن زيادة \(n\) تعني شكلًا أكبر فعليًا، ومن ثم تزداد المساحتان معًا؛ ويقترب شكل المضلع من الدائرة المحاطة لكنهما يواصلان النمو.
ما الوحدات المستخدمة؟ أي وحدة طول تُدخلها لقيمة \(a\). تخرج الأطوال بتلك الوحدة وتخرج المساحات بمربعها.
