這個計算器的功能
本工具只要輸入正多邊形的邊長，就能算出它的內切圓（incircle），並回傳內切圓半徑、內切圓面積與多邊形面積。它不只給單一答案，而是依照你設定的起始值到結束值，逐一掃描邊數 \(n\)，建立一張對照表，讓你能把三角形、正方形、五邊形、六邊形以及更多形狀並排比較。整個計算屬於純粹的幾何運算，只要長度單位一致，在任何地方都通用。
使用方式
先輸入邊長 \(a\)（任何正數），再設定邊數的範圍：「正多邊形 \(n\)（起）」與「正多邊形 \(n\)（迄）」。由於多邊形至少需要三條邊，因此 \(n\) 從 3 開始。表格會為每一個整數 \(n\) 產生一列，最多 200 列。若只想得到單一結果，把「起」與「迄」設成同一個數字即可。
公式說明
內切圓（又稱內接圓）會切於每條邊的中點，其半徑就是多邊形的邊心距（apothem）。以弧度量角、設有 \(n\) 條長度為 \(a\) 的邊，則內切圓半徑為 $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ 內切圓面積則套用標準圓面積公式 $$S_c = \pi r^2$$ 多邊形面積等於周長的一半乘以邊心距，化簡後為 $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ 由於當 \(n \geq 3\) 時 \(0 < \pi/n < \pi/2\)，\(\tan(\pi/n)\) 永遠為正值，因此絕不會發生除以零的情況。
實例演算
以單位正六邊形為例，\(a = 1\)、\(n = 6\)。此時 \(\pi/6 = 0.5235988\) 弧度，\(\tan(\pi/6) = 0.5773503\)。內切圓半徑為 $$r = \frac{1}{2 \times 0.5773503} = 0.8660254$$ 內切圓面積為 $$S_c = \pi \times 0.8660254^2 = \pi \times 0.75 = 2.3561945$$ 多邊形面積為 $$S_p = \frac{6}{4 \times 0.5773503} = 2.5980762$$ 正好等於已知的正六邊形面積 \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)。
常見問題
內切圓與外接圓有什麼差別？ 內切圓位於多邊形內部，切於每條邊的中點；外接圓則通過所有頂點。本工具計算的是內切圓。
為什麼 \(n\) 增加時多邊形面積會變大？ 因為邊長 \(a\) 固定不變，\(n\) 越大表示整個形狀實際上越大，所以兩者面積都會增加；多邊形的外形雖然會越來越接近內切圓，但面積仍持續增大。
使用的是什麼單位？ 你為 \(a\) 輸入哪種長度單位就用哪種。長度結果以該單位呈現，面積則以該單位的平方呈現。
